Question

【題目】如圖，拋物線（≠0）與軸交于A(-4，0)，B（2，0），與軸交與點(diǎn)C（0，2）．

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，當(dāng)以A，C，D為頂點(diǎn)的三角形面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及此時(shí)三角形的面積；

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2﹣x+2；(2)S△ADC的最大值為2，此時(shí)D（﹣2，2）．

【解析】

（1）根據(jù)A與B坐標(biāo)設(shè)出拋物線解析式，將C坐標(biāo)代入即可求出；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，交直線AC于點(diǎn)G，連接DC，AD，如圖所示，利用待定系數(shù)法求出直線AC解析式，設(shè)D橫坐標(biāo)為m，則有G橫坐標(biāo)也為m，表示出DH與GH，由DH-GH表示出DG，三角形ADC面積=三角形ADG面積+三角形DGC面積，表示出面積與m的關(guān)系式，利用二次函數(shù)性質(zhì)確定出面積的最大值，以及此時(shí)m的值，即此時(shí)D的坐標(biāo)即可．

(1)根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）（x﹣2），

把C（0，2）代入得：﹣8a=2，即a=﹣，

則拋物線解析式為y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+2；

(2)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，交直線AC于點(diǎn)G，連接DC，AD，如圖所示，

設(shè)直線AC解析式為y=kx+t，則有

，

解得：，

∴直線AC解析式為y=x+2，

設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則G橫坐標(biāo)也為m，

∴DH=﹣m2﹣m+2，GH=m+2，

∴DG=﹣m2﹣m+2﹣m﹣2=﹣m2﹣m，

∴S△ADC=S△ADG+S△CDG=DGAH+DGOH=DGAO=2DG=﹣m2﹣2m=﹣（m2+4m）=﹣ [（m+2）2﹣4]=﹣（m+2）2+2，

當(dāng)m=﹣2時(shí)，S△ADC取得最大值2，此時(shí)yD=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2=2，即D（﹣2，2）．