Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與軸相交于點(diǎn)，連結(jié)，拋物線沿射線方向平移得到拋物線，拋物線與直線交于點(diǎn)，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的解析式（用含的式子表示）；

（2）連結(jié)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)為軸上的動(dòng)點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)的與相似，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3） 1或3或4

【解析】

（1）先求出OA的解析式，然后根據(jù)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)求出縱坐標(biāo)，即可求出平移的距離，然后利用二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律即可得到拋物線的解析式；

（2）分兩種情況，點(diǎn)P在A點(diǎn)上方和點(diǎn)P在A點(diǎn)下方，分別畫出相應(yīng)的圖象，然后分情況討論即可求出m的值，進(jìn)一步即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）利用相似三角形的性質(zhì)，分和兩種情況，然后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行討論即可得出答案．

（1）設(shè)直線OA的解析式為，

將代入解析式中得 ，解得 ，

∴直線OA解析式為 ．

∵拋物線的頂點(diǎn)在OA上，且橫坐標(biāo)為，

∴，

∴ ．

∵拋物線，

∴拋物線的解析式為；

（2）∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，

∴縱坐標(biāo)為，

．

若點(diǎn)P在A點(diǎn)上方，如圖

，

，

∴ ，

解得（舍去）或 ，

當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ；

若點(diǎn)P在A點(diǎn)下方，如圖，作線段OD交AB于點(diǎn)D，使，過點(diǎn)D作OA的垂線交OA的延長線于點(diǎn)N，交OP的延長線于點(diǎn)，

點(diǎn)D的坐標(biāo)即點(diǎn)P在點(diǎn)A上方時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，所以．

∵直線OA解析式為，，

∴設(shè)直線的解析式為 ，

將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得， ，

∴直線的解析式為．

設(shè)的坐標(biāo)為，則 且，

解得（即點(diǎn)D的坐標(biāo)），

∴．

設(shè)直線的解析式為，

將代入解析式中得 ，解得，

∴直線解析式為．

當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；

（3）如圖，若 ，則有 ，

∴ ．

過點(diǎn)M作 交AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)Q作交AB于點(diǎn)H，

∵，

．

，

，

，

，

即，

解得或 ；

同理，若 ，解得或,

當(dāng)時(shí)，拋物線與拋物線重合，故舍去，

綜上所述，m的值為1或3或4．