Question

【題目】已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)P，Q分別從B，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；

點(diǎn)Q沿CA，AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s），

（1）如圖（1），當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥AB；

（2）如圖（2），若PQ⊥AC，求x；

（3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ與△ABC的高AD交于點(diǎn)O，OQ與OP是否總是相等？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)x=時(shí)，PQ∥AB；（2）x=；（3）見解析

【解析】

試題（1）首先得出△PQC為等邊三角形，進(jìn)而表示出PC=4﹣x，CQ=2x，由4﹣x=2x，求出答案；

（2）根據(jù)題意得出CQ=PC，即2x=（4﹣x），求出即可；

（3）根據(jù)題意得出QH=DP，進(jìn)而判斷出△OQH≌△OPD（AAS），即可得出答案．

解：（1）∵∠C=60°，

∴當(dāng)PC=CQ時(shí)，△PQC為等邊三角形，

于是∠QPC=60°=∠B，

從而PQ∥AB，

∵PC=4﹣x，CQ=2x，

由4﹣x=2x，

解得：x=，

∴當(dāng)x=時(shí)，PQ∥AB；

（2）∵PQ⊥AC，∠C=60°，

∴∠QPC=30°，

∴CQ=PC，

即2x=（4﹣x），

解得：x=；

（3）OQ=PO，理由如下：

作QH⊥AD于H，如圖（3），

∵AD⊥BC，

∴∠QAH=30°，BD=BC=2，

∴QH=AQ=（2x﹣4）=x﹣2，

∵DP=BP﹣BD=x﹣2，

∴QH=DP，

在△OQH和△OPD中，

，

∴△OQH≌△OPD（AAS），

∴OQ=OP．