Question

【題目】如圖1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，∠DEF=45°且角的兩邊分別與邊AB，射線CA交于點(diǎn)P，Q．

（1）如圖2，若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，將∠DEF繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，DE與邊AB交于點(diǎn)P，EF與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q．設(shè)BP為x，CQ為y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）如圖3，點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)（不與B，C重合），且DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與邊AC交于Q點(diǎn)．探究：在∠DEF運(yùn)動(dòng)過程中，△AEQ能否構(gòu)成等腰三角形，若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠BAC=90°，AB=AC=2，

∴∠B=∠C， ．

又∵∠FEB=∠FED+∠DEB=∠EQC+∠C，∠DEF=∠C，

∴∠DEB=∠EQC，

∴△BPE∽△CEQ，

∴ ．

設(shè)BP為x，CQ為y，

∴ ．

∴ ，自變量x的取值范圍是0＜x＜1

（2）

解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AQE＞∠C，

∴∠AQE＞∠AEF．

∴AE≠AQ．

當(dāng)AE=EQ時(shí)，

∴∠EAQ=∠EQA，

∵∠AEQ=45°，

∴∠EAQ=∠EQA=67.5°，

∵∠BAC=90°，∠C=45，

∴∠BAE=∠QEC=22.5°．

∵在△ABE和△ECQ中，

，

∴△ABE≌ECQ（AAS）．

∴CE=AB=2．

∴BE=BC﹣EC= ；

當(dāng)AQ=EQ時(shí)，可知∠QAE=∠QEA=45°，

∴AE⊥BC．

∴點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．

∴BE= ．

綜上，在∠DEF運(yùn)動(dòng)過程中，△AEQ能成等腰三角形，此時(shí)BE的長(zhǎng)為 或

【解析】（1）根據(jù)條件由勾股定理可以求出BC的值，再求出∠DEB=∠EQC，就可以得出△BPE∽△CEQ，由相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；（2）由∠AEF=∠B=∠C，且∠AQE＞∠C可以得出∠AQE＞∠AEF．從而有AE≠AQ，再分類討論，當(dāng)AE=EQ時(shí)和AQ=EQ時(shí)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)就可以求出BE的值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解全等三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及對(duì)勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．