Question

【題目】如圖，正五邊形的邊長為2，連接對角線AD，BE，CE，線段AD分別與BE和CE相交于點M，N，給出下列結論：①∠AME=108°；②；③MN=；④．其中正確結論的序號是_____．

Answer 1

【答案】①、②、③

【解析】分析：（1）利用等腰三角形的性質，可以得到∠AME度數，(2)證明 △AEM∽△ADE，可以得到，（3）利用勾股定理求MN的長度，（4）最后求BE=CE=AD.

詳解：

∵∠BAE=∠AED=108°，
∵AB=AE=DE，
∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，
∴∠AME=180°-∠EAM-∠AEM=108°，故①正確；
∵∠AEN=108°-36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，
∴∠AEN=∠ANE，
∴AE=AN，
同理DE=DM，
∴AE=DM，
∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，
∴△AEM∽△ADE，
∴,

∴AE2=AMAD；
∴AN2=AMAD；故②正確；
∵AE2=AMAD，
∴22=（2-MN）（4-MN），
∴MN=3-,

；故③正確；
在正五邊形ABCDE中，
∵BE=CE=AD=1+,

故④錯誤；
①、②、③正確.