Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為a的等邊三角形，將三角板的30°角的頂點與A重合，三角板30°角的兩邊與BC交于D、E兩點，則DE長度的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（2 ﹣3）a≤DE≤ a
【解析】解：當B、D重合或C、E重合時DE長度最大，如圖1，
∵∠BAE=30°，∠AEB=90°，
∴DE= AB= a，
當∠BAD=∠CAE=15°時，DE長度最小，如圖2，
作AF⊥BC，且AF=AB，連接DF、CF，
∵AF⊥BC，
∴∠BAF=∠CAF=30°，
∵∠BAD=∠CAE=15°，
∴∠DAH=∠EAH=15°，
∴∠BAD=∠DAH，
在△ADB和△ADF中，
，
∴△ABD≌△ADF，
∴∠B=∠AFD，BD=DF，
∵∠AHB=∠DHF=90°，
∴△ABH∽△DFH，
AB：AH=DF：DH，
∴ = ，
∴ = ，
∴DH= ，其中BD+DH= a、AH= a，
∴DH= = a
∴DE=（2 ﹣3）a，
故DE長度的取值范圍是（2 ﹣3）a≤DE≤ a．


【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．