Question

【題目】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，點(diǎn)D從B點(diǎn)出發(fā)沿B→A方向在線(xiàn)段BA上以a cm/s速度運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)E從線(xiàn)段BC的某個(gè)端點(diǎn)出發(fā)，以b cm/s速度在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D到達(dá)A點(diǎn)后，D、E運(yùn)動(dòng)停止，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）

（1）如圖1，若a=b=1，點(diǎn)E從C出發(fā)沿C→B方向運(yùn)動(dòng)，連AE、CD，AE、CD交于F，連BF．當(dāng)0＜t＜6時(shí)：
①求∠AFC的度數(shù)；
②求 的值；
（2）如圖2，若a=1，b=2，點(diǎn)E從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C方向運(yùn)動(dòng)，E點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后再沿C→B方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t≥3時(shí)，連DE，以DE為邊作等邊△DEM，使M、B在DE兩側(cè)，求M點(diǎn)所經(jīng)歷的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

由題可得BD=CE=t．

∵△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC，∠B=∠ECA=60°．

在△BDC和△CEA中，

，

∴△BDC≌△CEA，

∴∠BCD=∠CAE，

∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，

∴∠AFC=120°；

②延長(zhǎng)FD到G，使得FG=FA，連接GA、GB，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥FG于H，如圖2，

∵∠AFG=180°﹣120°=60°，F(xiàn)G=FA，

∴△FAG是等邊三角形，

∴AG=AF=FG，∠AGF=∠GAF=60°．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∴∠GAF=∠BAC，

∴∠GAB=∠FAC．

在△AGB和△AFC中，

，

∴△AGB≌△AFC，

∴GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，

∴∠BGF=60°．

設(shè)AF=x，F(xiàn)C=y，

則有FG=AF=x，BG=CF=y．

在Rt△BHG中，

BH=BGsin∠BGH=BGsin60°= y，

GH=BGcos∠BGH=BGcos60°= y，

∴FH=FG﹣GH=x﹣ y．

在Rt△BHF中，BF2=BH2+FH2

=（ y）2+（x﹣ y）2=x2﹣xy+y2．

∴ = =1；

（2）解：過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB于N，連接MC，如圖3，

由題可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t，CE=2（t﹣3）=2t﹣6．

∴BE=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BN=BEcosB= BE=6﹣t，

∴DN=t﹣（6﹣t）=2t﹣6，

∴DN=EC．

∵△DEM是等邊三角形，

∴DE=EM，∠DEM=60°．

∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°=90°，

∴∠NDE=∠MEC．

在△DNE和△ECM中，

，

∴△DNE≌△ECM，

∴∠DNE=∠ECM=90°，

∴M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為過(guò)點(diǎn)C垂直于BC的一條線(xiàn)段．

當(dāng)t=3時(shí)，E在點(diǎn)B，D在A(yíng)B的中點(diǎn)，

此時(shí)CM=EN=CD=BCsinB=6× =3 ；

當(dāng)t=6時(shí)，E在點(diǎn)C，D在點(diǎn)A，

此時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)C．

∴當(dāng)3≤t≤6時(shí)，M點(diǎn)所經(jīng)歷的路徑長(zhǎng)為3 ．

【解析】（1）①如圖1，由題可得BD=CE=t，易證△BDC≌△CEA，則有∠BCD=∠CAE，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求得∠EFC=60°，即可得到∠AFC=120°；②延長(zhǎng)FD到G，使得FG=FA，連接GA、GB，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥FG于H，如圖2，易證△FAG是等邊三角形，結(jié)合△ABC是等邊三角形可證到△AGB≌△AFC，則有GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，從而可得∠BGF=60°．設(shè)AF=x，F(xiàn)C=y，則有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中運(yùn)用三角函數(shù)可得BH= y，GH= y，從而有FH=x﹣ y．在Rt△BHF中根據(jù)勾股定理可得BF2=x2﹣xy+y2 ， 代入所求代數(shù)式就可解決問(wèn)題；（2）過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB于N，連接MC，如圖3，由題可得∠BEN=30°，BD=t，CE=2t﹣6，從而有BE=12﹣2t，BN=6﹣t，進(jìn)而可得DN=EC．由△DEM是等邊三角形可得DE=EM，∠DEM=60°，從而可得∠NDE=∠MEC，進(jìn)而可證到△DNE≌△ECM，則有∠DNE=∠ECM=90°，故M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為過(guò)點(diǎn)C垂直于BC的一條線(xiàn)段．然后只需確定點(diǎn)M的始點(diǎn)和終點(diǎn)位置，就可解決問(wèn)題．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°，以及對(duì)勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．