Question

【題目】如圖，在中，，，，點是斜邊上一點，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）過點的與邊相切，切點為的中點，與直線的另一個交點為．

（i）求的半徑；

（ⅱ）連接，試探究與的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）tan∠BCD＝；（Ⅱ）（i）；（ⅱ）AF⊥CD，理由見解析．

【解析】

（Ⅰ）如圖1，過D作DM⊥BC，垂足M，則DM∥AC，可得△DMB∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出DM和CM的長，進一步即可求出結(jié)果；

（Ⅱ）（�。┤鐖D2，連接OE，OF，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OE⊥AC，作OH⊥BE，垂足為H，則四邊形OHCE為矩形，于是可得OH的長，設⊙O的半徑為r，則可根據(jù)垂徑定理和矩形的性質(zhì)用r的代數(shù)式表示出HF的長，然后在Rt△OHF中根據(jù)勾股定理即可建立關于r的方程，解方程即得結(jié)果；

（ⅱ）如圖2，延長CD，交AF于點K，先由（�。┑慕Y(jié)果求出CF的長，進一步即可求出tan∠CAF的值，與（Ⅰ）題的結(jié)果對比可得∠CAF＝∠BCD，進而可根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等量代換得出∠FCK+∠AFC＝90°，于是可得結(jié)論．

解：（Ⅰ）如圖1，過D作DM⊥BC，垂足M，

∵∠ACB＝90°，

∴DM∥AC．

∴△DMB∽△ACB，

∵AD＝4BD，AC＝3，BC＝1，

∴DM＝AC＝，CM＝BC＝．

則在Rt△DMC中，tan∠DCM＝，

即tan∠BCD＝；

（Ⅱ）（ⅰ）如圖2，連接OE，OF，

∵⊙O與AC相切于AC中點E，

∴OE⊥AC，

作OH⊥BC，垂足為H，∵∠ACB＝90°，

∴四邊形OHCE為矩形，

設⊙O的半徑為r，則OF＝OE＝CH＝r，

∴OH＝CE＝AC＝，HF＝BH＝CH﹣BC＝r﹣1．

∴在Rt△OHF中，由勾股定理得：OF2＝OH2+HF2，

∴r2＝+（r﹣1）2，

解得r＝；

（ⅱ） AF與CD的位置關系是AF⊥CD，理由如下：

如圖2，延長CD，交AF于點K，

由（�。┲�，CF＝BC+BF＝1+2（r﹣1）＝，

∴在Rt△ACF中，∠ACB＝90°，tan∠CAF＝，

∵tan∠BCD＝，

∴∠CAF＝∠BCD，即∠CAF＝∠FCK，

∵∠CAF+∠AFC＝90°，

∴∠FCK+∠AFC＝90°．

即AF⊥CD．