Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，對稱軸為直線，直線AD交拋物線于點D（2，3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點M為第三象限內拋物線上的一動點，當點M在什么位置時四邊形AMCO的面積最大？并求出最大值；
（3）當四邊形AMCO面積最大時，過點M作直線平行于y軸，在這條直線上是否存在一個以Q點為圓心，OQ為半徑且與直線BC相切的圓？若存在，求出圓心Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）拋物線的解析式為.　
(2) 當點M為(－2，－3)時四邊形AMCO面積有最大值，最大值為8．
(3) 存在一個以Q點為圓心，OQ為半徑且與直線BC相切的圓，點Q的坐標為（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．　　

解析試題分析：（1）由待定系數(shù)法即可得；
（2）連接OM，則四邊形AMCO可分為兩個三角形，設M點的坐標，則可表示出兩個三角形的面積，進而可得到面積的最大值
（3）可以先假設存在這樣的點，然后根據(jù)題中的條件進行計算即可
試題解析：（1）∵拋物線的對稱軸是直線,
∴，解得.
∵拋物線經(jīng)過D(2,3),
∴，解得.
∴拋物線的解析式為.
（2）拋物線的解析式為：,
令x＝0，得y＝﹣2，∴C（0， -2）．
令y＝0，得x＝﹣4或1，∴A(-4，0)、B（1，0）．
設點M坐標為(m，)，連接MO．
則S_{四邊形AMCO}＝S_△AMO＋S_△CMO
＝
＝
∴當m＝﹣2時，＝－3
∴當點M為(－2，－3)時四邊形AMCO面積有最大值，最大值為8．　　

（3）假設存在這樣的⊙Q．
設直線x＝﹣2與x軸交于點G，與直線BC交于點F．設直線BC的解析式為y＝kx＋b，
將B（1，0）、C（0，﹣2）代入得：
，解得：k＝2，b＝﹣2，
∴直線BC解析式為：y＝2x﹣2，
令x＝﹣2，得y＝﹣6，∴F（﹣2，﹣6），GF＝6．
在Rt△BGF中，由勾股定理得：
,
設Q（﹣2，n），則在Rt△QGO中，由勾股定理得：
.
設⊙Q與直線BC相切于點E，則QE＝OQ＝．
在Rt△BGF與Rt△QEF中，
∵∠BGF＝∠QEF＝90°，∠BFG＝∠QFE，
∴Rt△BGF∽Rt△QEF.
∴，即.
化簡得：n²﹣3n﹣4＝0，解得n＝4或n＝﹣1．
∴存在一個以Q點為圓心，OQ為半徑且與直線BC相切的圓，點Q的坐標為（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．

考點：1、待定系數(shù)法；2、二次函數(shù)的性質；3、勾股定理；4、切線的性質