Question

【題目】如圖，在半徑為 的 中，弦 ， 是弦 所對(duì)的優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)，連接 ， 過(guò)點(diǎn) 作 的垂線交射線 于點(diǎn) ，當(dāng) 是等腰三角形時(shí)，線段 的長(zhǎng)為____．

Answer 1

【答案】或8或

【解析】試題分析：①當(dāng)BA＝BP時(shí)，

易得AB＝BP＝BC＝8，即線段BC的長(zhǎng)為8．

②當(dāng)AB＝AP時(shí)，如圖1，延長(zhǎng)AO交PB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，則AD⊥PB，AE＝AB＝4，

∴BD＝DP，

在Rt△AEO中，AE＝4，AO＝5，

∴OE＝3，

易得△AOE∽△ABD，

∴，

∴BD＝，

∴BD＝PD＝，即PB＝，

∵AB＝AP＝8，

∴∠ABD＝∠P，

∵∠PAC＝∠ADB＝90°，

∴△ABD∽△CPA，

∴，

∴CP＝，

∴BC＝CP－BP＝＝；

③當(dāng)PA＝PB時(shí)

如圖2，連接PO并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接OB，

則PF⊥AB，

∴AF＝FB＝4，

在Rt△OFB中，OB＝5，FB＝4，

∴OF＝3，

∴FP＝8，

易得△PFB∽△CGB，

∴，

設(shè)BG＝t，則CG＝2t，

易得∠PAF＝∠ACG，

∵∠AFP＝∠AGC＝90°，

∴△APF∽△CAG，

∴，

∴，

解得t ，

在Rt△BCG中，BC＝t＝，

綜上所述，當(dāng)△PAB是等腰三角形時(shí)，線段BC的長(zhǎng)為8，，，

故答案為：8，，．