【題目】(探究證明)(1)某班數(shù)學課題學習小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進行探究,提出下列問題,請你給出證明:
如圖①,在矩形ABCD中,EF⊥GH,EF分別交AD、BC于點E、F,GH分別交AB、DC于點G、H,求證:;
(結(jié)論應(yīng)用)(2)如圖②,將矩形ABCD沿EF折疊,使得點B和點D重合,若AB=2,BC=3.求折痕EF的長;
(拓展運用)(3)如圖③,將矩形ABCD沿EF折疊.使得點D落在AB邊上的點G處,點C落在點P處,得到四邊形EFPG,若AB=2,BC=3,EF=,請求BP的長.
【答案】(1)見解析;(2)EF=;(3)BP=.
【解析】
(1)過點A作AP∥EF,交BC于P,過點B作BQ∥GH,交CD于Q,如圖1,易證AP=EF,GH=BQ,△ABP∽△BCQ,然后運用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題;
(2)連接BD,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出BD的長,再根據(jù)結(jié)論(1)得出,進而可求出EF的長.
(3)過點F作FH⊥EG于H,過點P作PJ⊥BF于J.根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD、CD的長,由結(jié)論(1)可得出DG的長,再由勾股定理得出AG的長,然后根據(jù)翻折的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出四邊形HGPF是矩形,進而得出FH的長度,最后根據(jù)相似三角形得出BJ、PJ的長度就可以得出BP的長度.
(1)如圖①,過點A作AP∥EF,交BC于P,過點B作BQ∥GH,交CD于Q,BQ交AP于T.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB∥DC,AD∥BC.
∴四邊形AEFP、四邊形BGHQ都是平行四邊形,
∴AP=EF,GH=BQ.
又∵GH⊥EF,
∴AP⊥BQ,
∴∠BAT+∠ABT=90°.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠ABP=∠C=90°,AD=BC,
∴∠ABT+∠CBQ=90°,
∴∠BAP=∠CBQ,
∴△ABP∽△BCQ,
∴,
∴.
(2)如圖②中,連接BD.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠C=90°,AB=CD=2,
∴BD=,
∵D,B關(guān)于EF對稱,
∴BD⊥EF,
∴ ,
∴ ,
∴EF= .
(3)如圖③中,過點F作FH⊥EG于H,過點P作PJ⊥BF于J.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD=2,AD=BC=3,∠A=90°,
∴= ,
∴DG=,
∴AG==1,
由翻折可知:ED=EG,設(shè)ED=EG=x,
在Rt△AEG中,∵EG2=AE2+AG2,
∴x2=AG2+AE2,
∴x2=(3﹣x)2+1,
∴x=,
∴DE=EG=,
∵FH⊥EG,
∴∠FHG=∠HGP=∠GPF=90°,
∴四邊形HGPF是矩形,
∴FH=PG=CD=2,
∴EH=,
∴GH=FP=CF=EG﹣EH=﹣=1,
∵PF∥EG,EA∥FB,
∴∠AEG=∠JPF,
∵∠A=∠FJP=90°,
∴△AEG∽△JFP,
∴,
∴,
∴FJ=,PJ=,
∴BJ=BC﹣FJ﹣CF=3﹣﹣1=,
在Rt△BJP中,BP=.
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【題目】某校350名學生參加植樹活動,要求每人植4~7棵,活動結(jié)束后隨機抽查了若干名學生每人的植樹量,并分為四種類型,A:4棵;B:5棵;C:6棵;D:7棵,將各類的人數(shù)繪制成了圖1和圖2兩個統(tǒng)計圖表.
請根據(jù)相關(guān)信息回答下列問題:
(Ⅰ)此次共隨機抽查了_______________名學生每人的植樹量;
圖①中m的值為_______________________;
(Ⅱ)求統(tǒng)計的這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅲ)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計這350名學生共植樹多少棵?
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4.點M1,N1,P1分別在AC,BC,AB上,且四邊形M1CN1P1是正方形,點M2,N2,P2分別在P1N1,BN1,BP1上,且四邊形M2N1N2P2是正方形,…,點Mn,Nn,Pn分別在Pn-1Nn-1,BNn-1,BPn-1上,且四邊形MnNn-1NnPn是正方形,則線段BN2020的長度是__________.
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【題目】某校開展研學旅行活動,準備去的研學基地有A(曲阜)、B(梁山)、C(汶上),D(泗水),每位學生只能選去一個地方,王老師對本全體同學選取的研學基地情況進行調(diào)查統(tǒng)計,繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖(如圖所示).
(1)求該班的總?cè)霐?shù),并補全條形統(tǒng)計圖.
(2)求D(泗水)所在扇形的圓心角度數(shù);
(3)該班班委4人中,1人選去曲阜,2人選去梁山,1人選去汶上,王老師要從這4人中隨機抽取2人了解他們對研學基地的看法,請你用列表或畫樹狀圖的方法,求所抽取的2人中恰好有1人選去曲阜,1人選去梁山的概率.
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【題目】某校組織學生參加“新冠肺炎”防疫知識競賽,從中抽取了部分學生成績進行統(tǒng)計,并按照成績從低到高分成A,B,C,D,E五個小組,繪制統(tǒng)計圖如表(未完成),解答下列問題:
(1)樣本容量為 ,頻數(shù)分布直方圖中a= ;
(2)扇形統(tǒng)計圖中E小組所對應(yīng)的扇形圓心角為n°,求n的值并補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若成績在80分以上(不含80分)為優(yōu)秀,全校共有3000名學生,估計成績優(yōu)秀的學生有多少名?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,線段OA與線段OA′關(guān)于直線l:y=x對稱.已知點A的坐標為(2,1),則點A′的坐標為_____.
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【題目】如圖,在蓮花山滑雪場滑雪,需從山腳下乘纜車上山,纜車索道與水平線所成的角為 32°,纜車速度為每分鐘 50 米,從山腳下A 到達山頂 B 纜車需要 16 分鐘,則山的高度 BC 約為 ____米.(結(jié)果精確到 0.1 米,參考數(shù)據(jù):sin32°=0.5299, cos32°=0.8480,tan32°=0.6249)
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【題目】如圖,如果將矩形紙片ABCD沿EF折疊,可使點A與點C重合,已知AB=4cm, AE=5 cm,則EF的長為( )
A.B.C.D.
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【題目】新冠肺炎疫情爆發(fā)之后,全國許多省市對湖北各地進行了援助,廣州市某醫(yī)療隊備好醫(yī)療防護物資迅速援助武漢.第一批醫(yī)療隊員乘坐高鐵從廣州出發(fā),2.5小時后,第二批醫(yī)療隊員乘坐飛機從廣州出發(fā),兩批隊員剛好同時到達武漢.已知廣州到武漢的飛行距離為800千米,高鐵路程為飛行距離的倍.
(1)求廣州到武漢的高鐵路程;
(2)若飛機速度與高鐵速度之比為5:2,求飛機和高鐵的速度.
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