【題目】如圖(1),已知正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,BE=DF,AE、AF分別交BD于點(diǎn)G、H.
(1)求證:BG=DH;
(2)連接FE,如圖(2),當(dāng)EF=BG時(shí).
①求證:ADAH=AFDF;
②直接寫出的比值.
【答案】(1)見解析; (2) ①見解析; ②
【解析】
(1)根據(jù)正方形性質(zhì)證△ABE≌△ADF(SAS),得∠BAE=∠DAF,再證△ABG≌△ADH(ASA)即可;
(2)①連接GF,證明四邊形EBGF是平行四邊形,利用BE∥GF∥AD,根據(jù)平行線分線段成比例性質(zhì)可得:,,故.
②由①可得,,設(shè)CF=k,DF=a,根據(jù)勾股定理和 平行線分線段成比例性質(zhì)得,得到,再代入化簡(jiǎn)可得.
證明:(1)∵四邊形 ABCD為正方形
∴AB=AD,∠ABC=∠ADC
∵BE=DF
∴△ABE≌△ADF(SAS)
∴∠BAE=∠DAF
∵AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
∴△ABG≌△ADH(ASA)
∴BG=DH
(2)①連接GF.
∵BC=DC,BE=DF,
∴CE=CF
∵∠C=90°
∴∠DBC=∠FEC=45°
∴EF∥BD
∵EF=BG
∴四邊形EBGF是平行四邊形
∴BE∥GF∥AD
∵AD=CD
∴
∵EF∥BD
∴
∴,即.
②由(2)可得
∴
∴
設(shè)CF=k,DF=a
則EF=,DG=,
∴DH= EF=,
∴GH=-
∴由可得
整理得
解得
∴
=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,為直徑,弦,垂足為,且為的中點(diǎn),連接.
(1)如圖1,求的度數(shù).
(2)如圖2,連接并延長(zhǎng),交圓于點(diǎn),連接,求證:
(3)在(2)問的條件下,為弧上的一點(diǎn),連接,、分別為、上的一點(diǎn),連接,連接交于點(diǎn),連接、,若,,,,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,∠ACB=90°,點(diǎn)D是上的一點(diǎn),且,連接AD交BC于點(diǎn)F,過點(diǎn)A作⊙O的切線AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:CF=CE;
(2)若AD=8,AC=5,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)O在AB上,BC=CD,過點(diǎn)C作⊙O的切線,分別交AB,AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,F(xiàn).
(1)求證:AF⊥EF;(2)若cosA=,BE=1,求AD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=8,點(diǎn)E為AD上一點(diǎn),將△ABE沿BE折疊得到△FBE,點(diǎn)G為CD上一點(diǎn),將△DEG沿EG折疊得到△HEG,且E、F、H三點(diǎn)共線,當(dāng)△CGH為直角三角形時(shí),AE的長(zhǎng)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置,點(diǎn),分別落在點(diǎn),處,點(diǎn)在軸上,再將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置,點(diǎn)在軸上,將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置,點(diǎn)在軸上,依次進(jìn)行下去……,若點(diǎn),,則點(diǎn)的坐標(biāo)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn),點(diǎn),交軸于點(diǎn)
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)連接,在直線上方的拋物線上有一點(diǎn),過點(diǎn)作軸的平行線,交直線于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,線段的長(zhǎng)為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若點(diǎn)在軸上,是否存在點(diǎn),使以、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,若存在,直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分線,BM平分∠ABC交AE于點(diǎn)M,經(jīng)過B,M兩點(diǎn)的⊙O交BC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F,FB恰為⊙O的直徑.
(1)求證:AE與⊙O相切;
(2)當(dāng)BC=4,cosC=時(shí),求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,是的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在線段上,連接并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn),設(shè)的中點(diǎn)為,連接,.
(1)當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí),求證:;
(2)①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí),是等腰直角三角形,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)不重合時(shí),請(qǐng)判定的形狀;
②求點(diǎn)移動(dòng)的最長(zhǎng)距離.
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