Question

【題目】如圖（1），已知點在正方形的對角線上，垂足為點，垂足為點．

（1）證明與推斷：

求證：四邊形是正方形；

推斷：的值為_ _；

（2）探究與證明：

將正方形繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)角，如圖（2）所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）拓展與運用：

若，正方形在繞點旋轉(zhuǎn)過程中，當三點在一條直線上時，則 ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；；（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）或

【解析】

（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；

②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；

（2）連接CG，只需證即可得；

（3）由（2）證出就可得到，再根據(jù)三點在同一直線上分在CD左邊和右邊兩種不同的情況求出AG的長度，即可求出BE的長度．

（1）證明：四邊形是正方形，

四邊形是矩形，

四邊形是正方形；

解：由①知四邊形CEGF是正方形，

∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，

∴，GE∥AB，

∴

故答案為：．

（2）如下圖所示連接由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知

在和中，

，

線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；

（3）解：當正方形在繞點旋轉(zhuǎn)到如下圖所示時：

當三點在一條直線上時，

由（2）可知，

，

∠CEG=∠CEA=∠ABC=90°，，

當正方形在繞點旋轉(zhuǎn)到如下圖所示時：

當三點在一條直線上時，

由（2）可知，

，

∠CEA=∠ABC=90°，，

故答案為：或．