Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的象經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（3，0）、N（2，3）三點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)M及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若直線y=kx+d經(jīng)過(guò)C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；
（3）點(diǎn)P是這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因?yàn)槎�次函�?shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）、N（2，3）

所以，可建立方程組： ，

解得：

所以，所求二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+2x+3，

所以，頂點(diǎn)M（1，4），點(diǎn)C（0，3）

（2）

解：直線y=kx+d經(jīng)過(guò)C、M兩點(diǎn)，

所以 ，

即k=1，d=3，

直線解析式為y=x+3．

令y=0，得x=﹣3，

故D（﹣3，0）

∴CD= ，AN= ，AD=2，CN=2

∴CD=AN，AD=CN（2分）

∴四邊形CDAN是平行四邊形

（3）

解：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，

因?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=1，

故可設(shè)P（1，y0），

則PA是圓的半徑且PA2=y02+22，

過(guò)P做直線CD的垂線，垂足為Q，則PQ=PA時(shí)以P為圓心的圓與直線CD相切．

由第（2）小題易得：△MDE為等腰直角三角形，

故△PQM也是等腰直角三角形，

由P（1，y0）得PE=y0，PM=|4﹣y0|， ，

由PQ2=PA2得方程： ，

解得 ，符合題意，

所以，滿足題意的點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為（1， ）或（1， ）

【解析】（1）根據(jù)題意將點(diǎn)A，B，N的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，組成方程組即可求得；（2）求得點(diǎn)C，M的坐標(biāo)，可得直線CM的解析式，可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可得到CD= ，AN= ，AD=2，CN=2，根據(jù)平行四邊形的判定定理可得四邊形CDAN是平行四邊形；（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，因?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=1，故可設(shè)P（1，y0），則PA是圓的半徑且PA2=y02+22 ， 過(guò)P做直線CD的垂線，垂足為Q，則PQ=PA時(shí)以P為圓心的圓與直線CD相切．由第（2）小題易得：△MDE為等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，繼而求得滿足題意的點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為（1， ）或（1， ）．