【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的象經(jīng)過(guò)A(﹣1,0)、B(3,0)、N(2,3)三點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式,并寫(xiě)出頂點(diǎn)M及點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)若直線y=kx+d經(jīng)過(guò)C、M兩點(diǎn),且與x軸交于點(diǎn)D,試證明四邊形CDAN是平行四邊形;
(3)點(diǎn)P是這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)P,使以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn),并且與直線CD相切?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)

解:因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1,0)、B(3,0)、N(2,3)

所以,可建立方程組: ,

解得:

所以,所求二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+2x+3,

所以,頂點(diǎn)M(1,4),點(diǎn)C(0,3)


(2)

解:直線y=kx+d經(jīng)過(guò)C、M兩點(diǎn),

所以 ,

即k=1,d=3,

直線解析式為y=x+3.

令y=0,得x=﹣3,

故D(﹣3,0)

∴CD= ,AN= ,AD=2,CN=2

∴CD=AN,AD=CN(2分)

∴四邊形CDAN是平行四邊形


(3)

解:假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P,使以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn),并且與直線CD相切,

因?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=1,

故可設(shè)P(1,y0),

則PA是圓的半徑且PA2=y02+22,

過(guò)P做直線CD的垂線,垂足為Q,則PQ=PA時(shí)以P為圓心的圓與直線CD相切.

由第(2)小題易得:△MDE為等腰直角三角形,

故△PQM也是等腰直角三角形,

由P(1,y0)得PE=y0,PM=|4﹣y0|, ,

由PQ2=PA2得方程:

解得 ,符合題意,

所以,滿足題意的點(diǎn)P存在,其坐標(biāo)為(1, )或(1,


【解析】(1)根據(jù)題意將點(diǎn)A,B,N的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,組成方程組即可求得;(2)求得點(diǎn)C,M的坐標(biāo),可得直線CM的解析式,可求得點(diǎn)D的坐標(biāo),即可得到CD= ,AN= ,AD=2,CN=2,根據(jù)平行四邊形的判定定理可得四邊形CDAN是平行四邊形;(3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P,使以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn),并且與直線CD相切,因?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=1,故可設(shè)P(1,y0),則PA是圓的半徑且PA2=y02+22 , 過(guò)P做直線CD的垂線,垂足為Q,則PQ=PA時(shí)以P為圓心的圓與直線CD相切.由第(2)小題易得:△MDE為等腰直角三角形,故△PQM也是等腰直角三角形,繼而求得滿足題意的點(diǎn)P存在,其坐標(biāo)為(1, )或(1, ).

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∴∠B+BPE=180°

ABCD,EFAB

   (如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行)

EPD+   =180°

∴∠B+BPE+EPD+D=360°

∴∠B+BPD+D=360°

(2)依照上面的解題方法,觀察圖(2),已知ABCD,猜想圖中的∠BPD與∠B、D的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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