【題目】如圖,在直角坐標系中,拋物線經(jīng)過點A(04),B(1,0),C(50),其對稱軸與x軸相交于點M.

(1)求拋物線的解析式和對稱軸;

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使△PAB的周長最小?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;

(3)連接AC,在直線AC的下方的拋物線上,是否存在一點N,使△NAC的面積最大?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1yx2x4x3;(2;(3N( ,-3).

【解析】

1)拋物線經(jīng)過點A0,4),B1,0),C5,0),可利用兩點式法設(shè)拋物線的解析式為y=ax-1)(x-5),代入A0,4)即可求得函數(shù)的解析式,則可求得拋物線的對稱軸;
2)點A關(guān)于對稱軸的對稱點A′的坐標為(6,4),連接BA′交對稱軸于點P,連接AP,此時△PAB的周長最小,可求出直線BA′的解析式,即可得出點P的坐標.
3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N,使△NAC面積最大.設(shè)N點的橫坐標為t,此時點Nt,t2-t+4)(0t5),再求得直線AC的解析式,即可求得NG的長與△ACN的面積,由二次函數(shù)最大值的問題即可求得答案.

解:(1) 根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=ax-1)(x-5),
把點A0,4)代入上式得:a=,∴y=x-1)(x-5=x2-x+4=x-32-
∴拋物線的對稱軸是:直線x=3

:拋物線的解析式為yx2x4,拋物線的對稱軸是x3;

(2)P點坐標為(3).理由如下:

∵點A0,4),拋物線的對稱軸是直線x=3,
∴點A關(guān)于對稱軸的對稱點A′的坐標為(6,4
如圖1,連接BA′交對稱軸于點P,連接AP,此時△PAB的周長最。

設(shè)直線BA′的解析式為y=kx+b
A′(6,4),B1,0)代入得

解得

y=x-,

∵點P的橫坐標為3

y=×3-=

;

(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N,使△NAC面積最大.設(shè)N點的橫坐標為t,此時點N(t, t2t4)(0t5),如圖,過點NNG∥y軸交ACG;作AD⊥NGD,由點A(04)和點C(5,0)可求出直線AC的解析式為y=-x4,把xt代入得y=-t4,則G(t,-4),此時NG=-t4(t2t4)=-t24t

∵ADCFCO5,

∴SACNSANGSCGNAD×NGNG×CFNG·OC×(t24t)×5=-2t210t=-2(t)2,

當(dāng)t時,△CAN面積的最大值為,由t,得yt2t4=-3∴N(,-3)

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