Question

【題目】如圖1．在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)．

（1）連接PB、PC，將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點(diǎn)B、C、P的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、A、E，連接CE．

①依題意，請?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形；

②如果BP⊥CE，AB＋BP＝9，CE＝，求AB的長．

（2）如圖3，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連接PA、PB、PC，當(dāng)AC＝4，AB＝8時(shí)，根據(jù)此圖求PA＋PB＋PC的最小值．

Answer 1

【答案】⑴①見解析，②AB＝6；⑵4.

【解析】（1）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；

②連接BD、CD．根據(jù)平移的性質(zhì)和∠ACB＝90°，得到四邊形BCAD是矩形，從而有CD＝AB，設(shè)CD＝AB＝，則PB＝DE＝， 由勾股定理求解即可；

（2）當(dāng)C、P、M、N四點(diǎn)共線時(shí)，PA＋PB＋PC最小．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理求解即可．

（1）①補(bǔ)全圖形如圖所示；

②如圖：連接BD、CD．

∵△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，

∴BC∥AD且BC＝AD，PB＝DE．

∵∠ACB＝90°，

∴四邊形BCAD是矩形，∴CD＝AB，設(shè)CD＝AB＝，則PB＝，

DE＝BP＝，

∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，

∴，∴，

∴，即AB＝6；

（2）如圖，當(dāng)C、P、M、N四點(diǎn)共線時(shí)，PA＋PB＋PC最�。�

由旋轉(zhuǎn)可得：△AMN≌△APB，∴PB＝MN．

易得△APM、△ABN都是等邊三角形，∴PA＝PM，

∴PA＋PB＋PC＝PM＋MN＋PC＝CN，

∴BN＝AB＝8，∠BNA＝60°，∠PAM＝60°，

∴∠CAN＝∠CAB＋∠BAN＝60°＋60°＝120°，

∴∠CBN＝90°．

在Rt△ABC中，易得：，

∴在Rt△BCN中，．