20.如圖,已知AC、EC分別為四邊形ABCD和EFCG的對(duì)角線,點(diǎn)E在△ABC內(nèi),∠CAE+∠CBE=90°,當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為正方形時(shí),連接BF.
(1)求證:△CAE∽△CBF;
(2)若BE=1,AE=2,求CE的長(zhǎng).

分析 (1)首先根據(jù)四邊形ABCD和EFCG均為正方形,可得$\frac{AC}{BC}$=$\frac{EC}{FC}$=$\sqrt{2}$,∠ACE=∠BCF;然后根據(jù)相似三角形判定的方法,推得△CAE∽△CBF即可;
(2)首先根據(jù)△CAE∽△CBF,判斷出∠CAE=∠△CBF,再根據(jù)∠CAE+∠CBE=90°,判斷出∠EBF=90°;然后在Rt△BEF中,根據(jù)勾股定理,求出EF的長(zhǎng)度,再根據(jù)CE、EF的關(guān)系,求出CE的長(zhǎng)是多少即可.

解答 解:(1)∵四邊形ABCD和EFCG均為正方形,
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{EC}{FC}$=$\sqrt{2}$,
又∵∠ACE+∠BCE=∠BCF+∠BCE=45°,
∴∠ACE=∠BCF,
∴△CAE∽△CBF.

(2):∵△CAE∽△CBF,
∴∠CAE=∠CBF,$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$,
又∵∠CAE+∠CBE=90°,
∴∠CBF+∠CBE=90°,
∴∠EBF=90°,
又∵$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{2}$,AE=2
∴$\frac{2}{BF}$=$\sqrt{2}$,
∴BF=$\sqrt{2}$,
∴EF2=BE2+BF2=3,
∴EF=$\sqrt{3}$,
∵CE2=2EF2=6,
∴CE=$\sqrt{6}$.

點(diǎn)評(píng) 此題考查相似三角形的判定和性質(zhì),正方形的性質(zhì),掌握相似三角形的判定方法是解決問(wèn)題的前提.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

10.已知,點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn),連接OA,OB,OC.
(1)如圖1,已知∠AOB=150°,∠BOC=120°,將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC.
①∠DAO的度數(shù)是90°
②用等式表示線段OA,OB,OC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(2)設(shè)∠AOB=α,∠BOC=β.
①當(dāng)α,β滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí),OA+OB+OC有最小值?請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出符合條件的圖形,并說(shuō)明理由;
②若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1,直接寫(xiě)出OA+OB+OC的最小值.

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11.如圖,已知函數(shù)y1=2x+b和y2=ax-3的圖象交于點(diǎn)P (-2,-5),這兩個(gè)函數(shù)的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A、B.
(1)分別求出這兩個(gè)函數(shù)的解析式;
(2)求△ABP的面積;
(3)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出不等式2x+b<ax-3的解集.

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8.(1)計(jì)算:$\sqrt{4}$+$\root{3}{-27}$-20160;
(2)解方程:4x2-25=0.

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15.小明調(diào)查了學(xué)校50名同學(xué)本學(xué)期購(gòu)買(mǎi)課外書(shū)的花費(fèi)情況,并將結(jié)果繪制成了下面的統(tǒng)計(jì)圖,由于不小心滴上了墨水,導(dǎo)致花費(fèi)為100元的人數(shù)看不清楚了.求出這50名學(xué)生本學(xué)期購(gòu)買(mǎi)課外書(shū)花費(fèi)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).

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5.如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,動(dòng)點(diǎn)P以2個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā),沿AC向點(diǎn)C移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā),沿CB向點(diǎn)B移動(dòng),當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng),在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)△PQC為等腰三角形時(shí),求時(shí)間t的值.

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12.解答下列各題:
(1)計(jì)算:$\sqrt{(-\frac{5}{2})^{2}}$-$\root{3}{-2\frac{10}{27}}$+(2017-π)0
(2)求x的值:$\frac{1}{2}$(x-2)3-32=0.

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9.如圖,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=50°,點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)D不與B、C重合),連接AD,作∠ADE=50°,DE交線段AC于E.
(1)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,請(qǐng)求出∠BDA的度數(shù);若不可以,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)若DC=2,求證:△ABD≌△DCE.

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10.如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交AC,BC分別于點(diǎn)E,D兩點(diǎn),連結(jié)ED,BE.
(1)求證:$\widehat{DE}$=$\widehat{BD}$.
(2)若BC=6.AB=5,求BE的長(zhǎng).

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