Question

（2013•婁底）如圖，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．
（1）求證：

AH

AD

=

EF

BC

；
（2）設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積；
（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線DA勻速向上運(yùn)動(dòng)（當(dāng)矩形的邊PQ到達(dá)A點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由相似三角形，列出比例關(guān)系式，即可證明；
（2）首先求出矩形EFPQ面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)求其最大面積；
（3）本問是運(yùn)動(dòng)型問題，要點(diǎn)是弄清矩形EFPQ的運(yùn)動(dòng)過程：
（I）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如答圖①所示，此時(shí)重疊部分是一個(gè)矩形和一個(gè)梯形；
（II）當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如答圖②所示，此時(shí)重疊部分是一個(gè)三角形．

解答：（1）證明：∵矩形EFPQ，
∴EF∥BC，∴△AHF∽△ADC，∴

AH

AD

=

AF

AC

，
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴

EF

BC

=

AF

AC

，
∴

AH

AD

=

EF

BC

．

（2）解：∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC-BD=5-4=1．
∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴

AH

AD

=

EH

BD

，
∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴

AH

AD

=

HF

CD

，
∴

EH

BD

=

HF

CD

，即

EH

4

=

HF

1

，∴EH=4HF，
已知EF=x，則EH=

4

5

x．
∵∠B=45°，∴EQ=BQ=BD-QD=BD-EH=4-

4

5

x．
S_矩形EFPQ=EF•EQ=x•（4-

4

5

x）=-

4

5

x²+4x=-

4

5

（x-

5

2

）²+5，
∴當(dāng)x=

5

2

時(shí)，矩形EFPQ的面積最大，最大面積為5．

（3）解：由（2）可知，當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，矩形的長為

5

2

，寬為4-

4

5

×

5

2

=2．
在矩形EFPQ沿射線AD的運(yùn)動(dòng)過程中：
（I）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如答圖①所示．

設(shè)矩形與AB、AC分別交于點(diǎn)K、N，與AD分別交于點(diǎn)H₁，D₁．
此時(shí)DD₁=t，H₁D₁=2，
∴HD₁=HD-DD₁=2-t，HH₁=H₁D₁-HD₁=t，AH₁=AH-HH₁=2-t，．
∵KN∥EF，∴

KN

EF

=

AH1

AH

，即

KN

5 2

=

2-t

2

，得KN=

5

4

（2-t）．
S=S_梯形KNFE+S_矩形EFP1Q1
=

1

2

（KN+EF）•HH₁+EF•EQ₁
=

1

2

[

5

4

（2-t）+

5

2

]×t+

5

2

（2-t）
=-

5

8

t²+5；
（II）當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如答圖②所示．

設(shè)矩形與AB、AC分別交于點(diǎn)K、N，與AD交于點(diǎn)D₂．
此時(shí)DD₂=t，AD₂=AD-DD₂=4-t，
∵KN∥EF，∴

KN

EF

=

AD2

AH

，即

KN

5 2

=

4-t

2

，得KN=5-

5

4

t．
S=S_△AKN
=

1

2

KN•AD₂
=

1

2

（5-

5

4

t）（4-t）
=

5

8

t²-5t+10．
綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：
S=

- 5 8 t2+5(0≤t≤2) 5 8 t2-5t+10(2＜t≤4)

．

點(diǎn)評(píng)：本題是運(yùn)動(dòng)型相似三角形壓軸題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的表達(dá)式與最值、矩形、等腰直角三角形等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度．難點(diǎn)在于第（3）問，弄清矩形的運(yùn)動(dòng)過程是解題的關(guān)鍵．