Question

【題目】直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．點(diǎn)C是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為（3，0），拋物線過(guò)B、C、D三點(diǎn).

（1）如圖1所示，若點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱.

①求直線BD和拋物線的解析式；

②若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BP+CP的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

③若BD與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似，求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（2）如圖2，若BE//x軸，且E（4，3），點(diǎn)A1與點(diǎn)A關(guān)于直線BC對(duì)稱，當(dāng)EA1的長(zhǎng)最小時(shí)，直接寫出OC的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）①y=x2﹣4x+3．②點(diǎn)P（2，1）．③（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．(2) OC=．

【解析】試題分析：（1）①由直線y=3x+3可得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)A、C關(guān)于y軸對(duì)稱得到點(diǎn)C坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可得直線與拋物線的解析式；

②BD與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)；

③分情況討論即可得；

（2）根據(jù)題意可知當(dāng)點(diǎn)A1落在BE上時(shí)，EA1最小，由此即可得.

試題解析：（1）①∵直線l：y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

∴A（﹣1，0），B（0，3），

∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴C（1，0），

設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，

∵點(diǎn)B（0，3），D（3，0）在直線BD上，

∴ ，解得k=﹣1，b=3，

∴直線BD的解析式為：y=﹣x+3；

設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x﹣1）（x﹣3），

∵點(diǎn)B（0，3）在拋物線上，

∴3=a×（﹣1）×（﹣3），

解得：a=1，

∴拋物線的解析式為：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；

②點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，

直線BD的解析式為：y=﹣x+3，

當(dāng)x=2時(shí)，y=1，

∴點(diǎn)P（2，1）；

③拋物線的解析式為：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），

直線BD：y=﹣x+3與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，令x=2，得y=1，

∴M（2，1），

設(shè)對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)F，則CF=FD=MF=1，

∴△MCD為等腰直角三角形，

∵以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似，

∴△BND為等腰直角三角形，

如答圖1所示：

（I）若BD為斜邊，則易知此時(shí)直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，

∴N1（0，0）；

（II）若BD為直角邊，B為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上，

∵OB=OD=ON2=3，

∴N2（﹣3，0）；

（III）若BD為直角邊，D為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸上，

∵OB=OD=ON3=3，

∴N3（0，﹣3），

∴滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）；

（2）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)A1在BE上是時(shí)，EA1最小，

由OB=3，OA=1，根據(jù)勾股定理可得AB= ，所以BA1=BA=，

易證明四邊形ACA1B是菱形，所以AC=AB=，所以OC=-1.