【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過A(﹣20),B(﹣3,3)及原點O,頂點為C

1)求拋物線的解析式;

2)若點D在拋物線上,點E在拋物線的對稱軸上,且A、OD、E為頂點的四邊形是平行四邊形,求點D的坐標(biāo);

3P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動點,過點PPMx軸,垂足為M,是否存在點P,使得以PM、A為頂點的三角形BOC相似?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1)拋物線的解析式為y=x2+2x;(2D1-1,-1),D2-3,3),D31,3);(3)存在,P)或(3,15).

【解析】

1)根據(jù)拋物線過A20)及原點可設(shè)y=ax-2x,然后根據(jù)拋物線y=ax-2xB33),求出a的值即可;

2)首先由A的坐標(biāo)可求出OA的長,再根據(jù)四邊形AODE是平行四邊形,D在對稱軸直線x=-1右側(cè),進(jìn)而可求出D橫坐標(biāo)為:-1+2=1,代入拋物線解析式即可求出其橫坐標(biāo);

3)分PMA∽△COBPMA∽△BOC表示出PMAM,從而表示出點P的坐標(biāo),代入求得的拋物線的解析式即可求得t的值,從而確定點P的坐標(biāo).

解:(1)根據(jù)拋物線過A(-2,0)及原點,可設(shè)y=ax+2)(x-0),

又∵拋物線y=ax+2xB(-33),

∴-3(-3+2a=3,

a=1,

∴拋物線的解析式為y=x+2x=x2+2x

2)①若OA為對角線,則D點與C點重合,點D的坐標(biāo)應(yīng)為D(-1,-1);

②若OA為平行四邊形的一邊,則DE=OA,∵點E在拋物線的對稱軸上,

∴點E橫坐標(biāo)為-1

∴點D的橫坐標(biāo)為1-3,代入y=x2+2xD1,3)和D-33),

綜上點D坐標(biāo)為(-1-1),(-33),(13).

3)∵點B(-3,3C(-1-1),

∴△BOC為直角三角形,∠COB=90°,且OCOB=13,

①如圖1,

PMA∽△COB,設(shè)PM=t,則AM=3t

∴點P3t-2,t),

代入y=x2+2x得(-2+3t2+2(-2+3t=t,

解得t1=0(舍),t2=,

P();

②如圖2

PMA∽△BOC,

設(shè)PM=3t,則AM=t,點P(t-2,3t),代入y=x2+2x得(-2+t2+2(-2+t=3t

解得t1=0(舍),t2=5

P3,15

綜上所述,點P的坐標(biāo)為(,)或(315).

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