Question

【題目】在中，，在的外部作等邊三角形，為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．

（1）如圖1，若，求的度數(shù)；

（2）如圖2，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．

①補(bǔ)全圖2；

②若，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①補(bǔ)全圖形，如圖所示.見解析；②見解析．

【解析】

（1）分別求出∠ADF，∠ADB，根據(jù)∠BDF=∠ADF-∠ADB計(jì)算即可；
（2）①根據(jù)要求畫出圖形即可；
②設(shè)∠ACM=∠BCM=α，由AB=AC，推出∠ABC=∠ACB=2α，可得∠NAC=∠NCA=α，∠DAN=60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN=60°+α，∠BAC=60°+2α，在△ABC中，根據(jù)∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，構(gòu)建方程求出α，再證明∠MNB=∠MBN即可解決問題；

（1）解：如圖1中，

在等邊三角形中，

，.

∵為的中點(diǎn)，

∴，

∵，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

∴.

（2）①補(bǔ)全圖形，如圖所示.

②證明：連接.

∵平分，

∴設(shè)，

∵，

∴.

在等邊三角形中，

∵為的中點(diǎn)，

∴，

∴，

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，，

∴，

在中，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴.