Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=12，AD=9，E為BC上一點(diǎn)，且BE=4，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).連結(jié)DF，DE, EF. 過(guò)點(diǎn)E作DF的平行線交射線AB于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(不考慮D、E、F在一條直線上的情況).

(1) 填空：當(dāng)t= 時(shí)，AF=CE，此時(shí)BH= ；

(2）當(dāng)△BEF與△BEH相似時(shí)，求t的值；

(3）當(dāng)F在線段AB上時(shí)，設(shè)△DEF的面積為S,△DEF的周長(zhǎng)為C.

① 求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

② 直接寫出周長(zhǎng)C的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 、；（2）；（3）① ；② .

【解析】

（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，即可得到AD、t的值，從而確定AE的長(zhǎng)，由DE=AE-AD即可得解．

（2）若△DEG與△ACB相似，要分兩種情況：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根據(jù)這些比例線段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表達(dá)式時(shí)，要分AD＞AE和AD＜AE兩種情況）；

（3）分別表示出線段FD和線段AD的長(zhǎng)，利用面積公式列出函數(shù)關(guān)系式即可．

（1）∵BC=AD=9，BE=4，

∴CE=9-4=5，

∵AF=CE，

即：3t=5，

∴t=，

∴，

即：，

解得BH=；

當(dāng)t=時(shí)，AF=CE，此時(shí)BH=.

（2）由EH∥DF得∠AFD=∠BHE，又∵∠A=∠CBH=90°

∴△EBH∽△DAF ∴即∴BH=

當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B的左邊時(shí)，即t＜4時(shí)，BF=12-3t

此時(shí)，當(dāng)△BEF∽△BHE時(shí)：即解得：

此時(shí)，當(dāng)△BEF∽△BEH時(shí)： 有BF=BH， 即解得：

當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B的右邊時(shí)，即t＞4時(shí),BF=3t-12

此時(shí)，當(dāng)△BEF∽△BHE時(shí)：即解得：

（3）① ∵EH∥DF

∴△DFE的面積=△DFH的面積=；

② 如圖

∵BE=4，

∴CE=5，根據(jù)勾股定理得，DE=13，是定值，

所以當(dāng)C最小時(shí)DE+EF最小，作點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E'

連接DE，此時(shí)DE+EF最小，

在Rt△CDE'中，CD=12，CE'=BC+BE'=BC+BE=13，

根據(jù)勾股定理得，DE'=,

∴C的最小值=.