Question

【題目】如圖，在中，，點為上一點，以點為圓心，為半徑的與相切于點，交的延長線于點．

（1）求證：；

（2）若，，求的半徑和的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）的半徑是6，的長是．

【解析】

(1)利用切線的性質(zhì)證得OD=OC，證得BO為的平分線，利用等角的余角相等結(jié)合對頂角相等即可證得結(jié)論；

(2)利用正切函數(shù)求得AB=20，設(shè)的半徑為R，在中，利用切線長定理求得AD=8，AO=16-R，根據(jù)勾股定理求得R的值，在中，求得，利用正弦函數(shù)即可求解．

(1)如圖，連接，

∵與相切于點，

∴，

∵，

∴，

∴BC是的切線，

又，

∴為的平分線，

∴，

∵于點，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴；

(2)∵，，

∴AC=16，

∵，即，

∴AB=20，

由(1)得，BD、BC都是切線，

∴BD=BC=12，

∴AD=AB-BD=20-12=8，

設(shè)的半徑為R，

在中，OD=R，AO=16-R，AD=8，

∵，即，

∴R=6，

在中，BC=12，OC=6，

∵，即，

∴，

∵，

∴，即，

∴．