【題目】(本小題滿分9分)如圖,在矩形ABCD中,E是AB邊的中點(diǎn),沿EC對(duì)折矩形ABCD,使B點(diǎn)落在點(diǎn)P處,折痕為EC,連結(jié)AP并延長(zhǎng)AP交CD于F點(diǎn),
(1)求證:四邊形AECF為平行四邊形;
(2)若△AEP是等邊三角形,連結(jié)BP,求證:△APB≌△EPC;
(3)若矩形ABCD的邊AB=6,BC=4,求△CPF的面積.
【答案】(1)證明見試題解析;(2)證明見試題解析;(3).
【解析】
試題(1)由折疊的性質(zhì)得到BE=PE,EC⊥PB,根據(jù)E為AB中點(diǎn),得到AE=PE,利用等角對(duì)等邊得到兩對(duì)角相等,利用外角性質(zhì)得到∠AEP=2∠EPB,設(shè)∠EPB=x,則∠AEP=2x,表示出∠APE,由∠APE+∠EPB得到∠APB為90°,進(jìn)而得到AF與EC平行,再由AE與FC平行,利用兩對(duì)邊平行的四邊形為平行四邊形即可得證;
(2)根據(jù)等邊三角形性質(zhì),得到△AEP三條邊相等,三內(nèi)角相等,再由折疊的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角定義得到一對(duì)角相等,根據(jù)同角的余角相等得到一對(duì)角相等,再由AP=EB,利用AAS即可得證;
(3)過P作PM⊥CD,在Rt△EBC中,利用勾股定理求出EC,利用面積求出BQ,再根據(jù)BP=2BQ求出BP,在Rt△ABP中,利用勾股定理求出AP,根據(jù)AF-AP求出PF,由PM與AD平行,得到△PMF與△ADF相似,由相似得比例求出PM,再由FC=AE=3,求出△CPF面積即可.
試題解析:(1)由折疊得到BE=PE,EC⊥PB,∵E為AB的中點(diǎn),∴AE=EB,即AE=PE,∴∠EBP=∠EPB,∠EAP=∠EPA,∵∠AEP為△EBP的外角,∴∠AEP=2∠EPB,設(shè)∠EPB=x,則∠AEP=2x,∠APE==90°﹣x,∴∠APB=∠APE+∠EPB=x+90°﹣x=90°,即BP⊥AF,∴AF∥EC,∵AE∥FC,∴四邊形AECF為平行四邊形;
(2)∵△AEP為等邊三角形,∴∠BAP=∠AEP=60°,AP=AE=EP=EB,∵∠PEC=∠BEC,∴∠PEC=∠BEC=60°,∵∠BAP+∠ABP=90°,∠ABP+∠BEQ=90°,∴∠BAP=∠BEQ,在△ABP和△EBC中,∵∠APB=∠EBC=90°,∠BAP=∠BEQ,AP=EB,∴△ABP≌△EBC(AAS),∵△EBC≌△EPC,∴△ABP≌△EPC;
(3)過P作PM⊥DC,交DC于點(diǎn)M,在Rt△EBC中,EB=3,BC=4,根據(jù)勾股定理得:EC==5,∵S△EBC=EBBC=ECBQ,∴BQ==,由折疊得:BP=2BQ=,在Rt△ABP中,AB=6,BP=,根據(jù)勾股定理得:AP==,∵四邊形AECF為平行四邊形,∴AF=EC=5,FC=AE=3,∴PF==,∵PM∥AD,∴,即,解得:PM=,則S△PFC=FCPM==.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù),k≠0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),且與反比例函數(shù)y=(n為常數(shù),且n≠0)的圖象在第二象限交于點(diǎn)C.CD⊥x軸,垂足為D,若OB=2OA=3OD=12.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)記兩函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為E,求△CDE的面積;
(3)直接寫出不等式kx+b≤的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中華文明,源遠(yuǎn)流長(zhǎng):中華漢字,寓意深廣,為了傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校團(tuán)委組織了一次全校3000名學(xué)生參加的“漢字聽寫”大賽,賽后發(fā)現(xiàn)所有參賽學(xué)生的成績(jī)均不低于50分.為了更好地了解本次大賽的成績(jī)分布情況,隨機(jī)抽取了其中200名學(xué)生的成績(jī)(成績(jī)x取整數(shù),總分100分)作為樣本進(jìn)行整理,得到下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:
成績(jī)x/分 | 頻數(shù) | 頻率 |
50≤x<60 | 10 | 0.05 |
60≤x<70 | 20 | 0.10 |
70≤x<80 | 30 | b |
80≤x<90 | a | 0.30 |
90≤x≤100 | 80 | 0.40 |
請(qǐng)根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)a=______,b=______;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)這次比賽成績(jī)的中位數(shù)會(huì)落在_____________分?jǐn)?shù)段;
(4)若成績(jī)?cè)?/span>90分以上(包括90分)的為“優(yōu)”等,則該校參加這次比賽的3000名學(xué)生中成績(jī)“優(yōu)”等約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì),決定開設(shè)以下體育課外活動(dòng)項(xiàng)目:A:籃球 B:乒乓球C:羽毛球 D:足球,為了解學(xué)生最喜歡哪一種活動(dòng)項(xiàng)目,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)回答下列問題:
(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有 人;
(2)請(qǐng)你將條形統(tǒng)計(jì)圖(2)補(bǔ)充完整;
(3)在平時(shí)的乒乓球項(xiàng)目訓(xùn)練中,甲、乙、丙、丁四人表現(xiàn)優(yōu)秀,現(xiàn)決定從這四名同學(xué)中任選兩名參加乒乓球比賽,求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率(用樹狀圖或列表法解答)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】江南農(nóng)場(chǎng)收割小麥,已知1臺(tái)大型收割機(jī)和3臺(tái)小型收割機(jī)1小時(shí)可以收割小麥1.4公頃,2臺(tái)大型收割機(jī)和5臺(tái)小型收割機(jī)1小時(shí)可以收割小麥2.5公頃.
(1)每臺(tái)大型收割機(jī)和每臺(tái)小型收割機(jī)1小時(shí)收割小麥各多少公頃?
(2)大型收割機(jī)每小時(shí)費(fèi)用為300元,小型收割機(jī)每小時(shí)費(fèi)用為200元,兩種型號(hào)的收割機(jī)一共有10臺(tái),要求2小時(shí)完成8公頃小麥的收割任務(wù),且總費(fèi)用不超過5400元,有幾種方案?請(qǐng)指出費(fèi)用最低的一種方案,并求出相應(yīng)的費(fèi)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等邊三角形ABC中,BC=6cm. 射線AG//BC,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AG以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).
(1)連接EF,當(dāng)EF經(jīng)過AC邊的中點(diǎn)D時(shí),求證:△ADE≌△CDF;
(2)填空:當(dāng)t為_________s時(shí),四邊形ACFE是菱形;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,O為菱形ABCD對(duì)角線上一點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心,OA長(zhǎng)為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)M.
(1)求證:CD與⊙O相切;
(2)若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,∠ABC=60°,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,對(duì)于任意實(shí)數(shù),,當(dāng)時(shí),滿足的是( 。
A. y=﹣3x+2 B. y=2x+1 C. y=2x2+1 D. y=﹣
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=﹣2x+8的圖象與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)C,過點(diǎn)A作AB⊥x軸,垂足為點(diǎn)A,過點(diǎn)C作CB⊥y軸,垂足為點(diǎn)C,兩條垂線相交于點(diǎn)B.
(1)線段AB,BC,AC的長(zhǎng)分別為AB= ,BC= ,AC= ;
(2)折疊圖1中的△ABC,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,再將折疊后的圖形展開,折痕DE交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接CD,如圖2.
請(qǐng)從下列A、B兩題中任選一題作答,我選擇 題.
A:①求線段AD的長(zhǎng);
②在y軸上,是否存在點(diǎn)P,使得△APD為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
B:①求線段DE的長(zhǎng);
②在坐標(biāo)平面內(nèi),是否存在點(diǎn)P(除點(diǎn)B外),使得以點(diǎn)A,P,C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等?若存在,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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