Question

【題目】問(wèn)題背景：如圖，點(diǎn)為線(xiàn)段外一動(dòng)點(diǎn)，且，若，，連接，求的最大值．解決方法：以為邊作等邊，連接，推出，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，線(xiàn)段取得最大值．

問(wèn)題解決：如圖，點(diǎn)為線(xiàn)段外一動(dòng)點(diǎn)，且，若，，連接，當(dāng)取得最大值時(shí)，的度數(shù)為_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

以AC為直角邊，作等腰直角三角形CEA，CE =CA，∠ECA=90°，連接EB，利用SAS證出△ECB≌△ACD，從而得出EB=AD，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短即可得出當(dāng)AD取得最大值時(shí)，E、A、B三點(diǎn)共線(xiàn)，然后求出∠CAB的度數(shù)，根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ACB，從而求出∠ACD．

解：以AC為直角邊，作等腰直角三角形CEA，CE =CA，∠ECA=90°，連接EB

∵

∴∠ECA＋∠ACB=∠BCD＋∠ACB

∴∠ECB=∠ACD

在△ECB和△ACD中

∴△ECB≌△ACD

∴EB=AD

∴當(dāng)AD取得最大值時(shí)，EB也取得最大值

根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知EB≤EA＋EB，當(dāng)且僅當(dāng)E、A、B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)

即當(dāng)AD取得最大值時(shí)，E、A、B三點(diǎn)共線(xiàn)，

∵△CEA為等腰直角三角形

∴∠CAE=45°

∴此時(shí)∠CAB=180°―CAE=135°

∵

∴∠ACB=∠ABC=（180°－∠CAB）=°

∴∠ACD=∠ACB＋∠BCD=

故答案為：．