如圖,在矩形OABC中,已知A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4,0)、C(0,2),D為OA的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P是∠AOC精英家教網(wǎng)平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)O重合).
(1)試證明:無論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處,PC總與PD相等;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B的距離最小時(shí),試確定過O、P、D三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(3)設(shè)點(diǎn)E是(2)中所確定拋物線的頂點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),△PDE的周長(zhǎng)最。壳蟪龃藭r(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PDE的周長(zhǎng);
(4)設(shè)點(diǎn)N是矩形OABC的對(duì)稱中心,是否存在點(diǎn)P,使∠CPN=90°?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
分析:本題綜合考查了三角形全等、一次函數(shù)、二次函數(shù),及線段最短和探索性的問題.
(1)通過△POC≌△POD而證得PC=PD.
(2)首先要確定P點(diǎn)的位置,再求出P、F兩點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求的拋物線解析式;
(3)此問首先利用對(duì)稱性確定出P點(diǎn)位置是EC與∠AOC的平分線的交點(diǎn),再利用拋物線與直線CE的解析式求出交點(diǎn)P的坐標(biāo).進(jìn)而求的△PED的周長(zhǎng);
(4)要使∠CPN=90°,則P點(diǎn)是以CN的中點(diǎn)為圓心以CN為直徑的圓與角平分線的交點(diǎn),由此就易于寫出P點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),
∴OD=2,
∴OD=OC.
又∵OP是∠COD的角平分線,
∴∠POC=∠POD=45°,
∴△POC≌△POD,
∴PC=PD.

(2)過點(diǎn)B作∠AOC的平分線的垂線,垂足為P,點(diǎn)P即為所求.
易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,2),故BF=2,作PM⊥BF,
∵△PBF是等腰直角三角形,
∴PM=
1
2
BF=1,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3).
∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn),
∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx.
又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)P(3,3)和點(diǎn)D(2,0),
∴有
9a+3b=3
4a+2b=0

解得
a=1
b=-2

∴拋物線的解析式為y=x2-2x;

(3)由等腰直角三角形的對(duì)稱性知D點(diǎn)關(guān)于∠AOC的平分線的對(duì)稱點(diǎn)即為C點(diǎn).
連接EC,它與∠AOC的平分線的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)(因?yàn)镻E+PD=EC,而兩點(diǎn)之間線段最短),此時(shí)△PED的周長(zhǎng)最。
∵拋物線y=x2-2x的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)(1,-1),C點(diǎn)的坐標(biāo)(0,2),
設(shè)CE所在直線的解析式為y=kx+b,
則有
k+b=-1
b=2

解得
k=-3
b=2

∴CE所在直線的解析式為y=-3x+2.
點(diǎn)P滿足
y=-3x+2
y=x
,
解得
x=
1
2
y=
1
2

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
1
2
,
1
2
)

△PED的周長(zhǎng)即是CE+DE=
10
+
2
;

(4)假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn).矩形的對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn),故N(2,1).
①當(dāng)P點(diǎn)在N點(diǎn)上方時(shí),由(2)知F(2,2),且∠NFC=90°,顯然F點(diǎn)符合P點(diǎn)的要求,故P(2,2);
②當(dāng)P點(diǎn)在N點(diǎn)下方時(shí),設(shè)P(a,a),則:∵C(0,2),N(2,1),∴由勾股定理得,CP2+PN2=CN2,即a2+(a-2)2+(2-a)2+(1-a)2=5,即4a2-10a+4=0,解得a=
1
2
或a=2,故P(
1
2
,
1
2
),
綜上可知:存在點(diǎn)P,使∠CPN=90度.其坐標(biāo)是(
1
2
,
1
2
)
或(2,2).
點(diǎn)評(píng):函數(shù)與四邊形或三角形的綜合考查,是近幾年中考的一個(gè)熱點(diǎn)問題.對(duì)于這類問題,通常需要學(xué)生熟悉掌握多邊形與函數(shù)的概念與性質(zhì)及兩者之間的聯(lián)系.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形OABC中,已知A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4,0)、C(0,2),D為OA的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)這P是∠AOC平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)O重合).
(1)填空:無論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處,PC
 
PD(填“>”、“<”或“=”);
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B的距離最小時(shí),試確定過O、P、D三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(3)設(shè)點(diǎn)E是(2)中所確定拋物線的頂點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),△PDE的周長(zhǎng)最。壳精英家教網(wǎng)出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PDE的周長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形OABC中,AB∥x軸.函數(shù)y=
1x
(x>0)
的圖象分別交AB、BC邊于P、Q兩點(diǎn),且P是精英家教網(wǎng)AB的中點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a.
(1)用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)Q的坐標(biāo).
(2)試說明點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•莆田質(zhì)檢)如圖,在矩形OABC中,OA、OC兩邊分別在x軸、y軸的正半軸上,OA=3,OC=2,過OA邊上的D點(diǎn),沿著BD翻折△ABD,點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)E處,反比例函數(shù)y=
kx
(k>0)在第一象限上的圖象經(jīng)過點(diǎn)E與BD相交于點(diǎn)F.
(1)求證:四邊形ABED是正方形;
(2)點(diǎn)F是否為正方形ABED的中心?請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•永春縣質(zhì)檢)如圖,在矩形OABC中,點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是(a,0),(0,
3
),點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(與B、C不重合),過點(diǎn)D作直線l:y=-
3
x+b
交線段OA于點(diǎn)E.
(1)直接寫出矩形OABC的面積(用含a的代數(shù)式表示);
(2)已知a=3,當(dāng)直線l將矩形OABC分成周長(zhǎng)相等的兩部分時(shí)
①求b的值;
②梯形ABDE的內(nèi)部有一點(diǎn)P,當(dāng)⊙P與AB、AE、ED都相切時(shí),求⊙P的半徑.
(3)已知a=5,若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形為四邊形O1A1B1C1,設(shè)CD=k,當(dāng)k滿足什么條件時(shí),使矩形OABC和四邊形O1A1B1C1的重疊部分的面積為定值,并求出該定值.

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