Question

如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，0）、C（0，2），D為OA的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)這P是∠AOC平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合）．
（1）填空：無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處，PC

 

PD（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B的距離最小時(shí)，試確定過(guò)O、P、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)E是（2）中所確定拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最��？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PDE的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由于D是OA的中點(diǎn)，可得OD=OC=2，而OP是角COA的平分線，易證得PC、PD所在的三角形全等，由此可判定兩條線段的數(shù)量關(guān)系為相等．
（2）當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離最小時(shí)，BP⊥OP；設(shè)OP與BC的交點(diǎn)為F，由于∠COP=45°，易證得△COF、△BPF為等腰直角三角形，過(guò)P作x軸的垂線，交BC于M，由于BF=CF=2，易求得PM、FM的值，進(jìn)而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，而O、D的坐標(biāo)已知，利用待定系數(shù)法即可求出該拋物線的解析式．
（3）由于OP平分∠COD，且OC=OD=2，那么C、D正好關(guān)于直線OP對(duì)稱(chēng)，若△PDE的周長(zhǎng)最小，由于DE是定長(zhǎng)，那么PD+PE就最小，那么點(diǎn)P必為直線CE與OF的交點(diǎn)，可先求得直線CE的解析式，聯(lián)立直線OP的解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，此時(shí)△PDE的最小周長(zhǎng)即為線段CE的長(zhǎng)，由此得解．

解答：解：（1）∵∠COP=∠DOP=45°，OC=OD=2，OP=OP，
∴△COP≌△DOP；
故PC=PD．

（2）過(guò)點(diǎn)B作∠AOC的平分線的垂線，垂足為P，點(diǎn)P即為所求．
易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，2），
故BF=2，作PM⊥BF，
∵△PBF是等腰直角三角形，
∴PM=

1

2

BF=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3）．
∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx；
又∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，3）和點(diǎn)D（2，0），
∴有

9a+3b=3 4a+2b=0

解得

a=1 b=-2

∴拋物線的解析式為y=x²-2x．

（3）由等腰直角三角形的對(duì)稱(chēng)性知D點(diǎn)關(guān)于∠AOC的平分線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即為C點(diǎn)．
連接EC，它與∠AOC的平分線的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)（因?yàn)镻E+PD=EC，而兩點(diǎn)之間線段最短），此時(shí)△PED的周長(zhǎng)最�。�
∵拋物線y=x²-ax的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)（1，-1），C點(diǎn)的坐標(biāo)（0，2），
設(shè)CE所在直線的解析式為y=kx+b，則有

k+b=-1 b=2

，
解得

k=-3 b=2

；
∴CE所在直線的解析式為y=-3x+2；
點(diǎn)P滿足

y=-3x+2 y=x

，
解得

x= 1 2 y= 1 2

，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

2

，

1

2

）．
△PED的周長(zhǎng)即是CE+DE=

10

+

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題等重要知識(shí)；能夠發(fā)現(xiàn)C、D關(guān)于直線OP對(duì)稱(chēng)，并且正確的確定點(diǎn)P的位置，是解答（3）題的關(guān)鍵．