【題目】如圖,在四邊形ABCD中,ADBCEAB 的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)交CB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,點(diǎn)GBC邊上,且GDF ADF .

(1)求證:ADE BFE

(2)連接EG ,判斷EG DF 的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;

(3)若CDF 90,DF 4CD 3 , CF 5 ,求RtCDF的三條角平分線的交點(diǎn)O 到邊CF的距離.

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(31.

【解析】

1)由ADBC平行,利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等,得到一對(duì)角相等,再由一對(duì)對(duì)頂角相等及EAB中點(diǎn)得到一對(duì)邊相等,利用AAS即可得出△ADE≌△BFE;
2)∠GDF=ADE,以及(1)得出的∠ADE=BFE,等量代換得到∠GDF=BFE,利用等角對(duì)等邊得到GF=GD,即三角形GDF為等腰三角形,再由(1)得到DE=FE,即GE為底邊上的中線,利用三線合一即可得到GEDF垂直.
3)根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑解答即可.

(1)證明:∵AD∥BC,∴∠ADE=∠BFE,
∵E為AB的中點(diǎn),∴AE=BE,
在△ADE和△BFE中,


∴△ADE≌△BFE(AAS);


(2)EG與DF的位置關(guān)系是EG垂直平分DF,
理由為:連接EG,
∵∠GDF=∠ADE,∠ADE=∠BFE,
∴∠GDF=∠BFE,
由(1)△ADE≌△BFE得:DE=FE,即GE為DF上的中線,
∴GE垂直平分DF.
(3)∵Rt△CDF的三條角平分線的交點(diǎn)O到邊CF的距離即是△CDF的內(nèi)切圓的半徑,
∵∠CDF=90°,DF=4,CD=3,CF=5,
設(shè)△CDF的內(nèi)切圓半徑為r,
∵在Rt△CDF中,∠CDF=90°,DF=4,CD=3,CF=5,
∴SCDF=DCDF=r(DF+DC+CF),
∴r==

=1.
即Rt△CDF的三條角平分線的交點(diǎn)O到邊CF的距離是1.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)如圖1,直線AP與邊BC相交.

∠PAB=20°,則∠ADF= °,∠BEF= °;

請(qǐng)用等式表示線段AB、DFEF之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;

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(1)求點(diǎn)C到直線AB的距離;

(2)求現(xiàn)在從A地到B地可比原來(lái)少走多少路程?(結(jié)果精確到0.1km;參考數(shù)據(jù):≈1.41,sin53°≈0.80,cos53°≈0.60)

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數(shù)對(duì)______填“是”或“不是”“雉水有理數(shù)對(duì)”;

是“雉水有理數(shù)對(duì)”,求m的值;

請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的“錐水有理數(shù)對(duì)”______注意:不能與題目中已有的“雉水有理數(shù)對(duì)”重復(fù)

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()20,

a2+b0

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(1)(獲得結(jié)論)在a+b2(a、b均為正實(shí)數(shù))中,若ab為定值p,

a+b2,只有當(dāng)ab時(shí),a+b有最小值2

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(2)(探索應(yīng)用)已知點(diǎn)Q(3,﹣4)是雙曲線y上一點(diǎn),過(guò)QQAx軸于點(diǎn)A,作QBy軸于點(diǎn)B.點(diǎn)P為雙曲線y(x0)上任意一點(diǎn),連接PA,PB,求四邊形AQBP的面積的最小值.

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2)如圖3,當(dāng)A1D1過(guò)點(diǎn)C時(shí).若BC5CD3,直接寫出A1A的長(zhǎng).

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