Question

【題目】如圖，四邊形是正方形，點、分別是、上的點，且，連接、交于點．

（1）如圖①，判斷和之間的數(shù)量關系和位置關系，并證明；

（2）如圖②，連接，點是中點，若，，求線段的長度；

（3）如圖③，作于點，若，求證：點是中點．

Answer 1

【答案】（1），，證明見解析；（2）；（3）見解析．

【解析】

（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，，然后根據(jù)等量代換、三角形的內(nèi)角和定理可得，由此即可得；

（2）先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)求出，再根據(jù)勾股定理可求出，然后結(jié)論（1）的結(jié)論，利用直角三角形的性質(zhì)即可得；

（3）先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，即可得出，然后由（1）已證出，最后根據(jù)等量代換可得，即得證．

（1），，證明如下：

∵四邊形是正方形

∴，

∵

∴

∴，

∵

∴

∴

∴；

（2）由（1）已證：

∵，

∵四邊形是正方形

∴

在中，由勾股定理得：

由（1）已證：

是直角三角形

在中，，點是中點

∴；

（3）∵

∴

又

∴

∴

∵

∴，即

∴

∴

又∵

∴

∴點是中點．