Question

【題目】已知a、b是正數(shù)，且a+b＝2，則的最小值＝_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

由a+b=2，用a表示出b，將表示出的b代入所求的式子中，得到關(guān)于a的表達(dá)式，作出A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接BC交直線l與點(diǎn)P，此時(shí)利用兩點(diǎn)之間線段最短可得AP+PB=BC為最短，從而利用勾股定理，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為直角三角形兩斜邊AP、BP的和，即BC的長(zhǎng)，即為所求式子的最小值，故在直角三角形BCF中，由BF和CF的長(zhǎng)，利用勾股定理求出BC即可得到結(jié)果

解：∵a+b=2，

∴b=2-a，代入得：

，

構(gòu)造如下圖形，如圖，其中ED=2，AE=2，BD=1，AE⊥l，BD⊥l，

作出A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接BC與直線l交于點(diǎn)P，此時(shí)AP+PB最短．

延長(zhǎng)BD，過(guò)C作CF垂直于BC的延長(zhǎng)線，垂足為F，

設(shè)PD=a，可得ED=2-a，

在Rt△AEP中，根據(jù)勾股定理得：

AP=，BP=則

=AP+BP，

當(dāng)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，因?yàn)橹本�l為線段AC的垂直平分線，

則AP+BP=CP+PB=BC，此時(shí)BC的長(zhǎng)即為所求式子的最小值，

此時(shí)在Rt△CBF中，DF=EC=AE=2，故BF=BD+DF=1+2=3，CF=ED=2，

由勾股定理可求得BC==，

即最小值為.