Question

6．如圖，拋物線(xiàn)y=ax²+bx過(guò)A（4，0），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△ABC的面積；
（3）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，當(dāng)△ABP的面積為6時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx中得到關(guān)于a、b的方程組，然后解方程組即可得到拋物線(xiàn)解析式；
（2）計(jì)算函數(shù)值為3所對(duì)應(yīng)的自變量的值即可得到C點(diǎn)，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算△ABC的面積；
（3）作PQ⊥BH，如圖，設(shè)P（m，-m²+4m），則利用S_△ABH+S_梯形APQH=S_△PBQ+S_△ABP可得到關(guān)于m的方程，然后解方程求出m即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）把A（4，0），B（1，3）代入y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
所以?huà)佄锞�(xiàn)解析式為y=-x²+4x；
（2）當(dāng)y=3時(shí)，-x²+4x=3，解得x₁=1，x₂=3，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），
所以△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×2×3=3；
（3）作PQ⊥BH，如圖，設(shè)P（m，-m²+4m）
∵S_△ABH+S_梯形APQH=S_△PBQ+S_△ABP，
∴$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（3+m-1）×（m²-4m）=$\frac{1}{2}$×（m-1）×（3+m²-4m）+6，
整理得m2-5m=0，解得m₁=0（舍去），m₂=5，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（5，-5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．