Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，連接AD，點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合）．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E．求△PAE面積S的最大值；

（3）如圖2，拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形OAPQ為平行四邊形？若存在求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4）；（2）△PAE面積S的最大值是；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2+，2﹣4）．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，可以求得該拋物線的解析式，然后將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，從而可以得到該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)題意和點(diǎn)A和點(diǎn)D的坐標(biāo)可以得到直線AD的函數(shù)解析式，從而可以設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)圖形可以得到△APE的面積，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到△PAE面積S的最大值；

（3）根據(jù)題意可知存在點(diǎn)Q使得四邊形OAPQ為平行四邊形，然后根據(jù)函數(shù)解析式和平行四邊形的性質(zhì)可以求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，

∴ ，得，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4），

即該拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4）；

（2）設(shè)直線AD的函數(shù)解析式為y＝kx+m，

，得，

∴直線AD的函數(shù)解析式為y＝2x+6，

∵點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合），

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（p，2p+6），

∴S△PAE＝＝﹣（p+）2+，

∵﹣3＜p＜﹣1，

∴當(dāng)p＝﹣時(shí)，S△PAE取得最大值，此時(shí)S△PAE＝，

即△PAE面積S的最大值是；

（3）拋物線上存在一點(diǎn)Q，使得四邊形OAPQ為平行四邊形，

∵四邊形OAPQ為平行四邊形，點(diǎn)Q在拋物線上，

∴OA＝PQ，

∵點(diǎn)A（﹣3，0），

∴OA＝3，

∴PQ＝3，

∵直線AD為y＝2x+6，點(diǎn)P在線段AD上，點(diǎn)Q在拋物線y＝﹣x2﹣2x+3上，

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（p，2p+6），點(diǎn)Q（q，﹣q2﹣2q+3），

∴，

解得，或（舍去），

當(dāng)q＝﹣2+時(shí)，﹣q2﹣2q+3＝2﹣4，

即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2+，2﹣4）．