Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，PB、PC分別是⊙O的切線，切點(diǎn)為B、C，PC、BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，DE⊥PO，交PO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：∠DPO=∠EDB；
（2）若PB=3，DB=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PC、PB是⊙O的切線，

∴∠DPO=∠OPB，

∵DE⊥PO，∴∠E=90°，

∵點(diǎn)B是切點(diǎn)，PB是切線

所以∠PBD=90°，

∴∠E=∠PBD，又∵∠POB=∠EOD

∴∠EDB=∠OPB

∴∠DPO=∠EDB

（2）解：連接OC，

∵PC、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)為B、C，

∴PB=PC，∠PCO=90°．

在Rt△PBD中，∵PB=3，DB=4，∴PD=5，

∴DC=PD﹣PC=2

設(shè)⊙O半徑為r，則OD=BD﹣r=4﹣r

在Rt△DCO中，r2+22=（4﹣r）2

∴r=1.5

即⊙O的半徑為1.5．

【解析】（1）由切線長(zhǎng)定理，知∠DPO=∠BPO，在△EOD和△BOP中，根據(jù)等角的余角相等，得∠BPO=∠EDB，從而問(wèn)題得證．（2）在Rt△PBD中由勾股定理易得PD的長(zhǎng)、由切線長(zhǎng)定理知PB=PC，可計(jì)算出CD的長(zhǎng)；若設(shè)圓的半徑為r，OD=4﹣r，OC=r，在Rt△DCO中，根據(jù)勾股定理得到關(guān)于r的方程，求出⊙O的半徑．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解切線的性質(zhì)定理(切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑)．