Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)．

（1）BF⊥CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G(如圖①)．求證：AE＝CG；

（2）AH⊥CE，垂足為H，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M(如圖②)，找出圖中與BE相等的線段，并證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）BE=CM．證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）首先根據(jù)點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判斷出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，

（2）根據(jù)垂直的定義得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根據(jù)AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，進(jìn)而證明出BE=CM．

（1）證明：∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，AC=BC，

∠ACB=90°，

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CAD=∠CBD=45°，

∴∠CAE=∠BCG，

又∵BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°，

又∵∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠ACE=∠CBG，

在△AEC和△CGB中，

∴△AEC≌△CGB（ASA），

∴AE=CG，

（2）解：BE=CM．

證明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，

∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，

∴∠CMA=∠BEC，

又∵∠ACM=∠CBE=45°，

在△BCE和△CAM中，，

∴△BCE≌△CAM（AAS），

∴BE=CM．