Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣ x2+ x+2的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，連接BC，過點A作AD∥BC交拋物線的對稱軸于點D．

（1）求點D的坐標；
（2）如圖2，點P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點，作PQ⊥BC于Q，當(dāng)PQ的長度最大時，在線段BC上找一點M（不與點B、點C重合），使PM+ BM的值最小，求點M的坐標及PM+ BM的最小值；

（3）拋物線的頂點為點E，平移拋物線，使拋物線的頂點E在直線AE上移動，點A，E平移后的對應(yīng)點分別為點A′、E′．在平面內(nèi)有一動點F，當(dāng)以點A′、E′、B、F為頂點的四邊形為菱形時，求出點A′的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)y=0時，﹣ x2+ x+2=0，

解得x1= ，x2=﹣ ，

即A（﹣ ，0），B（ ，0），

當(dāng)x=0時，y=2，即C（0，2），

直線BC的解析式為y=﹣ x+2，

直線AD的解析式為y=﹣ x﹣ ，

拋物線的對稱軸為x=﹣ = ，

當(dāng)x= 時，y=﹣ x﹣ =﹣ ，

即D點坐標為（ ，﹣ ）

（2）

解：如圖1，作PF∥y軸交BC于F，

則△PQF∽△BOC，

∴ = =

即PQ= PF

設(shè)P（t，﹣ t2+ t+2），F(xiàn)（t， t+2）

∴PF=﹣ t2+ t

當(dāng)t= 時，PF取最大值，PQ取最大值，

此時P（ ， ）

作MN⊥x軸于N，則△BMN∽△BOC，

∴ = =

即MN= BM，

則當(dāng)P，M，N共線時，PM+ BM=PN= ，

M（ ，1）

（3）

解：如圖2所示，

1）當(dāng)A′E′=A′B，A′E′∥BF1，A′E′=BF1時四邊形A′E′F1B是菱形，

此時A1′（ ， ），A2′（﹣ ，﹣ ）；

2）當(dāng)A′E′=E′B，A′E′∥BF2，A′E′=BF2時四邊形A′E′F2B是菱形，

此時A3′（﹣ ，0），A4′（﹣ ，﹣ ）；

3）當(dāng)A′B=E′B，A′F3∥BE′，A′F3=BE′時四邊形A′F3E′B是菱形，

此時A5′（﹣ ，﹣ ）．

【解析】（1）當(dāng)y=0時，﹣ x2+ x+2=0，解方程可得A（﹣ ，0），B（ ，0），當(dāng)x=0時，y=2，即C（0，2），根據(jù)待定系數(shù)法可求直線BC的解析式為y= x+2，根據(jù)平行兩直線間的關(guān)系可得直線AD的解析式為y=﹣ x﹣ ，根據(jù)拋物線的對稱軸為x=﹣ = ，可得當(dāng)x= 時，y=﹣ x﹣ =﹣ ，即D點坐標為（ ，﹣ ）；（2）如圖1，作PF∥y軸交BC于F，則△PQF∽△BOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PQ= PF，設(shè)P（t，﹣ t2+ t+2），F(xiàn)（t， t+2）可得PF=﹣ t2+ t，當(dāng)t= 時，PF取最大值，PQ取最大值，此時P（ ， ），作MN⊥x軸于N，則△BMN∽△BOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得MN= BM，則當(dāng)P，M，N共線時，PM+ BM=PN= ，M（ ，1）（3）如圖2所示，分三種情況：1）當(dāng)A′E′=A′B，A′E′∥BF1 ， A′E′=BF1時四邊形A′E′F1B是菱形；2）當(dāng)A′E′=E′B，A′E′∥BF2 ， A′E′=BF2時四邊形A′E′F2B是菱形；3）當(dāng)A′B=E′B，A′F3∥BE′，A′F3=BE′時四邊形A′F3E′B是菱形；進行討論即可求解．
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�