Question

13．如圖，一次函數(shù)y₁=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，與一次函數(shù)y₂=x的圖象交于點M，點A的坐標為（6，0），點M的橫坐標為2，過點P（a，0），作x軸的垂線，分別交函數(shù)y=kx+b和y=x的圖象于點C、D．
（1）求一次函數(shù)y₁=kx+b的表達式；
（2）若點M是線段OD的中點，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先求出M的坐標，然后將M與A的坐標代入y₁=kx+b中，即可求出k與b的值．
（2）根據(jù)條件先證明△MBO≌△MCD（ASA），由此可知OB=CD，分別求出OB與CD的長度即可求出a的值．

解答 解：（1）∵M的橫坐標為2，點M在直線y=x上，
∴y=2，
∴M（2，2）
把M（2，2）、A（6，0）代入y₁=kx+b中，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=2}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$
∴函數(shù)的表達式為：y₁=-$\frac{1}{2}$x+3
（2）∵PD⊥x軸，
∴PC∥OB
∴∠BOM=∠CDM，
∵點M是線段CD的中點，
∴MO=MD
在△MBO與△MCD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOM=∠CDM}\\{MO=MD}\\{∠BMO=∠CMD}\end{array}\right.$
∴△MBO≌△MCD（ASA）
∴OB=CD
當x=0時，
y₁=$\frac{1}{2}$x+3=3，
∴OB=2，
∴DC=3，
當x=a時，
y₁=-$\frac{1}{2}$x+3=3-$\frac{1}{2}$a，
∴y₂=x=a
即D（a，a），C（a，-$\frac{1}{2}$a+3）
∴DC=a-（-$\frac{1}{2}$a+3）=$\frac{3}{2}$a-3=3，
∴a=4，

點評 本題考查一次函數(shù)的解析式，涉及待定系數(shù)法求解析式，全等三角形的判定與性質，一元一次方程的解法，題目較為綜合．