【題目】已知:PA=PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側.

(1)如圖,當∠APB=45°時,求ABPD的長;

(2)當∠APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應∠APB的大。

【答案】(1) ABPD; (2)最大值為6,此時∠APB=135度.

【解析】

(1)作輔助線,過點AAEPB于點E,在RtPAE中,已知∠APE,AP的值,根據(jù)三角函數(shù)可將AE,PE的值求出,由PB的值,可求BE的值,在RtABE中,根據(jù)勾股定理可將AB的值求出;
PD的值有兩種解法,解法一:可將PAD繞點A順時針旋轉90°得到P'AB,可得PAD≌△P'AB,求PD長即為求P′B的長,在RtAPP中,可將PP′的值求出,在RtPPB中,根據(jù)勾股定理可將P′B的值求出;
解法二:過點PAB的平行線,與DA的延長線交于F,交PBG,在RtAEG中,可求出AG,EG的長,進而可知PG的值,在RtPFG中,可求出PF,在RtPDF中,根據(jù)勾股定理可將PD的值求出;
(2)將PAD繞點A順時針旋轉90°,得到P'AB,PD的最大值即為P'B的最大值,故當P'、P、B三點共線時,P'B取得最大值,根據(jù)P'B=PP'+PB可求P'B的最大值,此時∠APB=180°-APP'=135°

(1)

如圖,作AEPB于點E

∵△APE中,∠APE=45°,PA,

AEPE×=1,

PB=4,∴BEPBPE=3,

Rt△ABE中,∠AEB=90°,

AB

解法一:

如圖,因為四邊形ABCD為正方形,可將

PAD繞點A順時針旋轉90°得到△P'AB

可得△PAD≌△P'AB,PDP'B,PAP'A

∴∠PAP'=90°,∠APP'=45°,∠P'PB=90°

PP′=PA=2,

PDPB;

解法二:

如圖,過點PAB的平行線,與DA的延長線交于F,與DA

延長線交PBG

Rt△AEG中,

可得AG,EGPGPEEG

Rt△PFG中,

可得PFPGcos∠FPGPGcos∠ABEFG

Rt△PDF中,可得,

PD

(2)如圖所示,

將△PAD繞點A順時針旋轉90°

得到△P'ABPD的最大值即為P'B的最大值,

∵△P'PB中,P'BPP'+PB,PP′= PA=2,PB=4,

P、D兩點落在直線AB的兩側,

∴當P'、PB三點共線時,P'B取得最大值(如圖)

此時P'BPP'+PB=6,即P'B的最大值為6.

此時∠APB=180°﹣∠APP'=135度.

練習冊系列答案
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100

150

200

500

800

1000

摸到白球的次數(shù)m

58

96

116

295

484

601

摸到白球的頻率

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0.64

0.58

0.59

0.605

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