Question

【題目】如圖，已知菱形ABCD邊長為4，，點E從點A出發(fā)沿著AD、DC方向運動，同時點F從點D出發(fā)以相同的速度沿著DC、CB的方向運動．

如圖1，當(dāng)點E在AD上時，連接BE、BF，試探究BE與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

在的前提下，求EF的最小值和此時的面積；

當(dāng)點E運動到DC邊上時，如圖2，連接BE、DF，交點為點M，連接AM，則大小是否變化？請說明理由．

Answer 1

【答案】，證明見解析；的最小值是，；如圖3，當(dāng)點E運動到DC邊上時，大小不發(fā)生變化，理由見解析.

【解析】

先證明和是等邊三角形，再證明≌，可得結(jié)論；

由≌，易證得是正三角形，繼而可得當(dāng)動點E運動到當(dāng)，即E為AD的中點時，BE的最小，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得BE和EF的長，并求此時的面積；

同理得：≌，則可得，所以，則A、B、M、D四點共圓，可得．

，

證明：、F的速度相同，且同時運動，

，

又四邊形ABCD是菱形，

，

，

，

是等邊三角形，

同理也是等邊三角形，

，

在和中，

，

≌，

；

由得：≌，

，

，

，

是等邊三角形，

，

如圖2，當(dāng)動點E運動到，即E為AD的中點時，BE的最小，此時EF最小，

，，

，

的最小值是，

中，，，

，

，

；

如圖3，當(dāng)點E運動到DC邊上時，大小不發(fā)生變化，

在和中，

，

≌，

，

，

，

，

，

，

、B、M、D四點共圓，

．