Question

【題目】在平面直角坐標系中，我們定義直線y＝ax﹣a為拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）的“夢想直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其“夢想三角形”．已知拋物線y＝﹣x2﹣x+2與其“夢想直線”交于A、B兩點（點A在點B的左側），與x軸負半軸交于點C．

（1）填空：該拋物線的“夢想直線”的解析式為　 　，點A的坐標為　 　，點B的坐標為　 　；

（2）如圖，點M為線段CB上一動點，將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N，若△AMN為該拋物線的“夢想三角形”，求點N的坐標；

（3）當點E在拋物線的對稱軸上運動時，在該拋物線的“夢想直線”上，是否存在點F，使得以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（﹣2，）；（1，0）；（2）N點坐標為（0，﹣3）或（，）；（3）存在；E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．

【解析】

（1）由夢想直線的定義可求得其解析式，聯立夢想直線與拋物線解析式可求得A、B的坐標；

（2）當N點在y軸上時，過A作AD⊥y軸于點D，則可知AN＝AC，結合A點坐標，則可求得ON的長，可求得N點坐標；當M點在y軸上即，M點在原點時，過N作NP⊥x軸于點P，由條件可求得∠NMP＝60°，在Rt△NMP中，可求得MP和NP的長，則可求得N點坐標；

（3）當AC為平行四邊形的一邊時，過F作對稱軸的垂線FH，過A作AK⊥x軸于點K，可證△EFH≌△ACK，可求得DF的長，則可求得F點的橫坐標，從而可求得F點坐標，由HE的長可求得E點坐標；當AC為平行四邊形的對角線時，設E（﹣1，t），由A、C的坐標可表示出AC中點，從而可表示出F點的坐標，代入直線AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐標．

解：（1）∵拋物線，

∴其夢想直線的解析式為，

聯立夢想直線與拋物線解析式可得：，

解得：或，

∴A（﹣2，），B（1，0），

故答案為：；（﹣2，）；（1，0）；

（2）當點N在y軸上時，△AMN為夢想三角形，

如圖1，過A作AD⊥y軸于點D，則AD=2，

在中，

令y=0可求得x=﹣3或x=1，

∴C（﹣3，0），且A（﹣2，），

∴AC= =，

由翻折的性質可知AN=AC=，

在Rt△AND中，由勾股定理可得DN= = =3，

∵OD=，

∴ON=﹣3或ON=+3，

當ON=+3時，則MN＞OD＞CM，與MN=CM矛盾，不合題意，

∴N點坐標為（0，﹣3）；

當M點在y軸上時，則M與O重合，過N作NP⊥x軸于點P，如圖2，

在Rt△AMD中，AD=2，OD=

∴∠DAM=60°，

∵AD∥x軸，

∴∠AMC=∠DAO=60°，

又由折疊可知∠NMA=∠AMC=60°，

∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，

∴MP=MN=，NP=MN=，

∴此時N點坐標為（，）；

綜上可知N點坐標為（0，﹣3）或（，）；

（3）①當AC為平行四邊形的邊時，如圖3，過F作對稱軸的垂線FH，過A作AK⊥x軸于點K，

則有AC∥EF且AC=EF，

∴∠ACK=∠EFH，

在△ACK和△EFH中，

∵∠ACK=∠EFH，∠AKC=∠EHF，AC=EF，

∴△ACK≌△EFH（AAS），

∴FH=CK=1，HE=AK=，

∵拋物線對稱軸為x=﹣1，

∴F點的橫坐標為0或﹣2，

∵點F在直線AB上，

∴當F點橫坐標為0時，則F（0，），此時點E在直線AB下方，

∴E到y軸的距離為EH﹣OF=﹣=，

即E點縱坐標為﹣，

∴E（﹣1，﹣）；

當F點的橫坐標為﹣2時，則F與A重合，不合題意，舍去；

②當AC為平行四邊形的對角線時，

∵C（﹣3，0），且A（﹣2，），

∴線段AC的中點坐標為（﹣2.5，），

設E（﹣1，t），F（x，y），

則x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=，

∴x=﹣4，y=﹣t，

代入直線AB解析式可得﹣t=﹣×（﹣4）+，

解得t=﹣，

∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；

綜上可知存在滿足條件的點F，此時E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．