【題目】如圖,BC是半⊙O的直徑,點P是半圓弧的中點,點A是弧BP的中點,AD⊥BC于D,連結AB、PB、AC,BP分別與AD、AC相交于點E、F.
(1)求證:AE=BE;
(2)判斷BE與EF是否相等嗎,并說明理由;
(3)小李通過操作發(fā)現CF=2AB,請問小李的發(fā)現是否正確?若正確,請說明理由;若不正確,請寫出CF與AB正確的關系式.
【答案】(1)見解析;(2)BE=EF,理由見解析;(3)小李的發(fā)現是正確的,理由見解析
【解析】
(1)如圖1,連接AP,由BC是半⊙O的直徑,AD⊥BC于D,得到∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°,于是得到∠ACB=∠BAD,根據圓周角定理得到∠P=∠ACB=∠ABP,即可求出結論;
(2)根據圓周角定理求出∠ABE=∠BAE,求出AE=BE,求出∠CAD=∠AFB,求出AE=EF,即可得出答案;
(3)根據全等三角形的性質和判定求出BG=CF,AB=AG,即可得出答案.
(1)如圖1,連接AP,
∵BC是半⊙O的直徑,
∴∠BAC=90°,
∵AD⊥BC于D,
∴∠ADB=90°,
∴∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠ACB=∠BAD,
∵點A是弧BP的中點,
∴∠P=∠ACB=∠ABP,
∴∠ABE=∠BAE,
∴AE=BE;
(2)BE=EF,
理由是:∵BC是直徑,AD⊥BC,
∴∠BAC=∠ADC=90°,
∴∠BAD=∠ACB,
∵A為弧BP中點,
∴∠ABP=∠ACB,
∴∠BAD=∠ABP,
∴BE=AE,∠FAD=∠AFB,
∴EF=AE,
∴BE=EF;
(3)小李的發(fā)現是正確的,
理由是:如圖2,延長BA、CP,兩線交于G,
∵P為半圓弧的中點,A是弧BP的中點,
∴∠PCF=∠GBP,∠CPF=∠BPG=90°,BP=PC,
在△PCF和△PBG中,
,
∴△PCF≌△PBG(ASA),
∴CF=BG,
∵BC為直徑,
∴∠BAC=90°,
∵A為弧BP中點,
∴∠GCA=∠BCA,
在△BAC和△GAC中,
∴△BAC≌△GAC(ASA),
∴AG=AB=BG,
∴CF=2AB.
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【題目】已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與y軸相交于點(0,3),并經過點(2,5),它的對稱軸是x=1,如圖為函數圖象的一部分.
(1)求函數解析式,寫出函數圖象的頂點坐標;
(2)在圖中,畫出函數圖象的其余部分;
(3)如果點P(n,2n)在上述拋物線上,求n的值.
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【題目】小明、小亮兩人用如圖所示的兩個分隔均勻的轉盤做游戲:分別轉動兩個轉盤,轉盤停止后,將兩個指針所指數字相加(若指針恰好停在分割線上,則重轉一次).如果這兩個數字之和小于8(不包括8),則小明獲勝;否則小亮獲勝。
(1)利用列表法或畫樹狀圖的方法表示游戲所有可能出現的結果;
(2)這個游戲對雙方公平嗎?請說明理由.
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【題目】小區(qū)為了促進生活垃圾的分類處理,將生活垃圾分為廚余、可回收和其他三類,分別記為a,b,c,并且設置了相應的垃圾箱,“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱,分別記為A,B,C.
(1)若小明將一袋分好類的生活垃圾隨機投入一類垃圾箱,請畫樹狀圖或列表求垃圾投放正確的概率;
(2)為調查居民生活垃圾分類投放情況,現隨機抽取了該小區(qū)三類垃圾箱中總共100噸生活垃圾,數據統(tǒng)計如下表(單位:噸):
試估計該小區(qū)居民“廚余垃圾”投放正確的概率約是多少.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,其中AB=4,∠AOC=120°,P為⊙O上的動點,連AP,取AP中點Q,連CQ,則線段CQ的最大值為( 。
A. 3 B. 1+ C. 1+3 D. 1+
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【題目】在2019年10月1日的建國70周年慶典上,有多國領導人出席觀看了我國盛大的閱兵儀式.為表示友好,我國政府選擇將刺繡和陶瓷兩類工藝品作為國禮贈送給所有的來賓.甲,乙兩個工廠分別承接了制作,兩種刺繡與種陶瓷的任務.甲工廠安排100名工人制作刺繡,每人只能制作其中一種刺繡,乙工廠安排50名工人制作種陶瓷.的人均制作數量比的人均制作數量少3件,的人均制作量比的人均制作量少20%.若本次贈送的國禮(,,三樣禮品)的人均制作數量比的人均制作數量少30%,且的人均制作數量為偶數件,則本次贈送的國禮共制作了_________件.
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【題目】如圖1,拋物線與軸交于兩點(點在點左側),與軸交于點,點拋物線的頂點.
(1)求直線的解析式;
(2)拋物線對稱軸交軸于點,為直線上方的拋物線上一動點,過點作于點,當線段的長最大時,連接,過點作射線,且,點為射線上一動點(點不與點重合),連接,為中點,連接,求的最小值;
(3)如圖2,平移拋物線,使拋物線的頂點在射線上移動,點,平移后的對應點分別為點,,軸上有一動點,連接,,是否能為等腰直角三角形?若能,請求出所有符合條件的點的坐標;若不能,請說明理由.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,動點P、Q分別以3cm/s、2cm/s的速度從點A、C同時出發(fā),點Q從點C向點D移動.
(1)若點P從點A移動到點B停止,點Q隨點P的停止而停止移動,點P、Q分別從點A、C同時出發(fā),問經過多長時間P、Q兩點之間的距離是10cm?
(2)若點P沿著AB→BC→CD移動,點P、Q分別從點A、C同時出發(fā),點Q從點C移動到點D停止時,點P隨點Q的停止而停止移動,試探求經過多長時間△PBQ的面積為12cm2?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知OA,OB的長是方程x2-7x+12=0的兩個(OA>OB),點P從點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動,速度為每秒1個單位長度,點Q從點A出發(fā)沿AO方向向點O勻速運動,速度為每秒2個單位長度,連結PQ.若設運動的時間為t秒(0<t<2).
(1)求AB長;
(2)當t為何值時,△APQ與△AOB相似?
(3)當t為何值時,△AQP的面積為3.
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