【題目】小林準備進行如下操作實驗:把一根長為40cm的鐵絲剪成兩段,并把每一段各圍成一個正方形.
(1)要使這兩個正方形的面積之和等于58cm2,小林該怎么剪?(求出剪成的兩段鐵絲的長度)
(2)小峰對小林說:“這兩個正方形的面積之和不可能等于48cm2.”他的說法對嗎?請說明理由.
【答案】(1)較短的一段長為12cm,較長的一段長為28cm;(2)小峰的說法正確,這兩個正方形的面積之和不可能等于48cm2
【解析】
(1)設剪成的較短的這段為xcm,較長的這段就為(40-x)cm.就可以表示出這兩個正方形的面積,根據兩個正方形的面積之和等于58cm2建立方程求出其解即可;(2)設剪成的較短的這段為mcm,較長的這段就為(40-m)cm.就可以表示出這兩個正方形的面積,根據兩個正方形的面積之和等于48cm2建立方程,如果方程有解就說明小峰的說法錯誤,否則正確.
(1)設剪成的較短的一段長為xcm,則較長的一段長為(40-x)cm,
由題意,得+=58,
解得x1=12,x2=28.
當x=12時,較長的一段長為40-12=28(cm),
當x=28時,較長的一段長為40-28=12(cm)<28cm(舍去).
∴較短的一段長為12cm,較長的一段長為28cm.
(2)小峰的說法正確.理由如下:
設剪成的較短的一段長為m cm,則較長的一段長就為(40-m) cm,
由題意得+=48,
變形為m2-40m+416=0.
∵Δ=(-40)2-4×416=-64<0,
∴原方程無實數解,
∴小峰的說法正確,這兩個正方形的面積之和不可能等于48cm2.
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【題目】如圖,拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點.
(1)求A、B、C的坐標;
(2)點M為線段AB上一點(點M不與點A、B重合),過點M作x軸的垂線,與直線AC交于點E,與拋物線交于點P,過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q,過點Q作QN⊥x軸于點N.若點P在點Q左邊,當矩形PQMN的周長最大時,求△AEM的面積;
(3)在(2)的條件下,當矩形PMNQ的周長最大時,連接DQ.過拋物線上一點F作y軸的平行線,與直線AC交于點G(點G在點F的上方).若FG=DQ,求點F的坐標.
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【題目】如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,∠ABC=90°,點P是圓外一點,PA切⊙O于點A,且PA=PB.
(1)求證:PB是⊙O的切線;
(2)已知PA=,∠ACB=60°,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,Rt△ABC的內切圓⊙O與兩直角邊AB,BC分別相切于點D,E,過劣弧DE(不包括端點D,E)上任一點P作⊙O的切線MN,與AB,BC分別交于點M,N,若⊙O的半徑為r,則Rt△MBN的周長為( )
A. r B. r C. 2r D. r
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【題目】選擇適當的方法解下列方程:
(1)(x-1)2+2x(x-1)=0;
(2)x2-6x-6=0;
(3)6 000(1-x)2=4 860;
(4)(10+x)(50-x)=800;
(5)(2x-1)2=x(3x+2)-7.
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【題目】如圖,在等腰直角△ABC中,∠C=90°,點O是AB的中點,且AB=cm,將一塊直角三角板的直角頂點放在點O處旋轉,始終保持該直角三角板的兩直角邊分別與AC、BC相交,交點分別為D、E,則CD+CE=______cm.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,圓M經過原點O,直線與x軸、y軸分別相交于A,B兩點.
(1)求出A,B兩點的坐標;
(2)若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經過點M,頂點C在圓M上,開口向下,且經過點B,求此拋物線的函數解析式;
(3)設(2)中的拋物線交軸于D、E兩點,在拋物線上是否存在點P,使得S△PDE=S△ABC?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】某玩具店采購人員第一次用100元去采購“企鵝牌”玩具,很快售完,第二次去采購時發(fā)現批發(fā)價每件上漲了0.5元,用去了150元,所購玩具數量比第一次多了10件,兩批玩具的售價均為2.8元,問:第二次采購玩具多少件?(說明:根據銷售常識,批發(fā)價應該低于銷售價)
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【題目】如圖,△ABC內接于⊙O,OH⊥AC于點H,過A點的切線與OC的延長線交于點D,∠B=30°,OH=5,請求出:
(1)∠AOC的度數;
(2)劣弧的長;(結果保留π)
(3)線段AD的長.(結果保留根號)
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