Question

（2010•攀枝花）如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，直線L與⊙O相切于點C，，CD交AB于E，BF⊥直線L，垂足為F，BF交⊙O于C．
（1）圖中哪條線段與AE相等？試證明你的結論；
（2）若，AE=4，求AB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）觀察圖象知：只有FG的長度與AE相當，可猜想AE=FG，然后著手證明它們相等；求簡單的線段相等，通常是證線段所在的三角形全等，那么本題需要構造全等三角形，連接AC、CG，然后證△AEC≌△GCF；連接BD，由于弧AC=弧AD，那么BA⊥CD，根據垂徑定理知∠D=∠BCE；由弦切角定理知∠FCB=∠D=∠DCB，那么它們的余角也相等，即∠FBC=∠EBC，那么弧CG=弧AC，即AC=CG，再由角平分線的性質得CF=CE，根據HL即可判定所求的兩個三角形全等，由此得證．
（2）由弦切角定理知∠FCG=∠FBC，它們的正弦值也相等，即可在Rt△FCG中，求得CG的長，也就得到了AC的長，在Rt△ACB中，CE⊥AB，由射影定理即可得到AB的長．
解答：解：（1）FG=AE，理由如下：
連接CG、AC、BD；
∵，
∴BA⊥CD，
∴，即∠D=∠BCD；
∵直線L切⊙O于C，
∴∠BCF=∠D=∠BCD，
∴∠FBC=∠ABC，
∴，CE=CF；
∴AC=CG；
△ACE和△GCF中，AC=CG、CE=CF，∠AEC=∠CFG=90°，
∴Rt△AEC≌Rt△GCF，則AE=FG．

（2）∵FC切⊙O于C，
∴∠FCG=∠FBC，即sin∠FCG=sin∠CBF=；
在Rt△FCG中，FG=AE=4，CG=FG÷sin∠FCG=4；
∴AC=CG=4；
在Rt△ABC中，CE⊥AB，由射影定理得：
AC²=AE•AB，即AB=AC²÷AE=20．
點評：此題主要涉及到：圓周角定理、垂徑定理、全等三角形的判定和性質、弦切角定理、解直角三角形等知識點；通過構造全等三角形來求得AE=FG是解決此題的關鍵．