Question

【題目】（1）如圖①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D是AB邊上任意一點(diǎn)，則CD的最小值為____．

（2）如圖②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別在BD、BC上，求CM+MN的最小值____．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）先利用點(diǎn)到直線的距離確定CD最小時(shí)點(diǎn)D位置，再用三角形的面積求出CD的長(zhǎng)；

（2）先根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定出點(diǎn)M和N的位置，再利用面積求出CF，進(jìn)而求出CE，最后用三角函數(shù)即可求出CM+MN的最小值．

（1）解：如圖①，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，此時(shí)CD最小，

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，根據(jù)勾股定理得，AB=5

∵

∴

（2）如圖②，作出點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,

過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BC于N，交BD于M，連接CM，此時(shí)CM + MN= EN最小；

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BCD=90°，CD=AB=3，

∵BC＝4，

根據(jù)勾股定理得，BD=5，
∵CE⊥BC，

∴

∴CF=

由對(duì)稱(chēng)得，CE=2CF=

在Rt△BCF中，cos∠BCF=，

∴sin∠BCF=

在Rt△CEN中，EN=CE·sin∠BCF=；

即：CM+MN的最小值為：