【題目】請完成下面題目的證明.如圖,AB為⊙O的直徑,AB=8,點C和點D是⊙O上關于直線AB對稱的兩個點,連接OC,AC,且∠BOC<90°,直線BC與直線AD相交于點E,過點C作直線CG與線段AB的延長線相交于點F,與直線AD相交于點G,且∠GAF=∠GCE

(1)求證:直線CG為⊙O的切線;

(2)若點H為線段OB上一點,連接CH,滿足CB=CH;

①求證:△CBH∽△OBC;

②求OH+HC的最大值.

【答案】(1)見解析;(2) ①見解析;②5

【解析】

(1)由題意可知:∠CAB=∠GAF,∠GAF=∠GCE,由圓的性質可知:∠CAB=∠OCA,所以∠OCA=∠GCE,從而可證明直線CG是⊙O的切線;

(2)①由于CB=CH,所以∠CBH=∠CHB,易證∠CBH=∠OCB,

從而可證明△CBH∽△OBC;

②由△CBH∽△OBC可知:

,所以HB=,

由于BC=HC,所以OH+HC=

利用二次函數(shù)的性質即可求出OH+HC的最大值.

(1)由題意可知:∠CAB=∠GAF,

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ACB=90°

∵OA=OC,

∴∠CAB=∠OCA,

∴∠OCA+∠OCB=90°,

∵∠GAF=∠GCE,

∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°,

∵OC是⊙O的半徑,

∴直線CG是⊙O的切線;

(2)①∵CB=CH,

∴∠CBH=∠CHB,

∵OB=OC,

∴∠CBH=∠OCB,

∴△CBH∽△OBC

②由△CBH∽△OBC可知:

∵AB=8,

∴BC2=HBOC=4HB,

∴HB=,

∴OH=OB-HB=

∵CB=CH,

∴OH+HC=

當∠BOC=90°,

此時BC=

∵∠BOC<90°,

∴0<BC<

令BC=x

∴OH+HC== =

當x=2時,

∴OH+HC可取得最大值,最大值為5

練習冊系列答案
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