【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線與直線交于A, B兩點,其中點A在x軸上.
(1)用含有b的代數(shù)式表示c;
(2)① 若點B在第一象限,且,求拋物線的解析式;
② 若,結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出b的取值范圍.
【答案】(1)c=b-1;
(2)①拋物線的解析式為;② 或.
【解析】
(1)由題意直線y=x+1與x軸交于點A,可得出點A坐標(biāo) ,又因拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A,所以將點A坐標(biāo)代入拋物線解析式可解得.
(2)①由y=x+1可推得∠OAC=45.
如圖,已知AB=3,
Rt△ABD中,利用勾股定理可解出AD=BD=3,所以點B的坐標(biāo)為(2,3) .
將點B的坐標(biāo)(2,3)代入拋物線y=x2+bx+c的解析式可得2b+c=-1.
并與(1)中得到的c=b-1聯(lián)立方程組并解出方程組可得b,c的值,帶入得到
拋物線的解析式.
②因為,結(jié)合函數(shù)圖象,可直接得出b的取值范圍.或.
解:(1)由題意直線y=x+1與x軸交于點A
可得點A坐標(biāo)為(-1,0)
又因拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A
所以將點A坐標(biāo)(-1,0)代入拋物線解析式可得
1-b+c=0,即c=b-1.
(2)①設(shè)y=x+1與y軸交于點C,可得
A (-1,0),C (0,1).
可知OA=OC=1.
又因∠AOC=90,
所以∠OAC=45.
如圖,已知AB=3,過B作BD⊥x軸于點D,
易知∠ADB=90.
又因∠BAD=45,AB=3,
所以AD=BD=3.
所以點B的坐標(biāo)為(2,3) .
將點B的坐標(biāo)(2,3)代入拋物線y=x2+bx+c的解析式可得2b+c=-1.
并與(1)中得到的c=b-1聯(lián)立方程組可得:
解得
得拋物線的解析式為.
②因為,由函數(shù)圖象(1)得, 對稱軸 即b≤0.
由函數(shù)圖象(2)得, 對稱軸 即b≥6.
所以可得出b的取值范圍或.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D,與CA的延長線相交于點E,過點D作DF⊥AC于點F.
(1)證明:DF是⊙O的切線;
(2)若AC=3AE,FC=6,求AF的長.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ACD沿AD折疊,使得點C落在斜邊AB上的點E處.
(1)求證:△BDE∽△BAC;
(2)已知AC=6,BC=8,求線段AD的長度.
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【題目】已知二次函數(shù)
(1)將其化成的形式_______________;
(2)頂點坐標(biāo)_________對稱軸方程_______________;
(3)用五點法畫出二次函數(shù)的圖象;
(4) 當(dāng)時,寫出的取值范圍
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【題目】請完成下面題目的證明.如圖,AB為⊙O的直徑,AB=8,點C和點D是⊙O上關(guān)于直線AB對稱的兩個點,連接OC,AC,且∠BOC<90°,直線BC與直線AD相交于點E,過點C作直線CG與線段AB的延長線相交于點F,與直線AD相交于點G,且∠GAF=∠GCE
(1)求證:直線CG為⊙O的切線;
(2)若點H為線段OB上一點,連接CH,滿足CB=CH;
①求證:△CBH∽△OBC;
②求OH+HC的最大值.
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【題目】閱讀材料:一元二次方程,當(dāng)時,設(shè)兩根為,,則兩根與系數(shù)的關(guān)系為:;.
應(yīng)用:
(1)方程的兩實數(shù)根分別為,,則______,_____;
(2)若關(guān)于的方程的有兩個實數(shù)根,,求的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若滿足,求實數(shù)的值.
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【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長為6,E,F分別是AB、BC邊上的點,且∠EDF=45°,將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DCM.
(1)求證:EF=MF;
(2)若AE=2,求FC的長.
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【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,點A(﹣,0),B(,0),C(0,).D,E分別是線段AC和CB上的點,CD=CE.將△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度α.
(1)若0°<α<90°,在旋轉(zhuǎn)過程中當(dāng)點A,D,E在同一直線上時,連接AD,BE,如圖2.求證:AD=BE,且AD⊥BE
(2)若0°<α<360°,D,E恰好是線段AC和CB上的中點,在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)DE∥AC時,求α的值及點E的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在南北方向的海岸線MN上,有A、B兩艘巡邏船,現(xiàn)均收到故障船c的求救信號.已知A、B兩船相距100(+3)海里,船C在船A的北偏東60°方向上,船C在船B的東南方向上,MN上有一觀測點D,測得船C正好在觀測點D的南偏東75°方向上.
(1)分別求出A與C,A與D之間的距離AC和AD(如果運算結(jié)果有根號,請保留根號).
(2)已知距觀測點D處200海里范圍內(nèi)有暗礁.若巡邏船A沿直線AC去營救船C,在去營救的途中有無觸暗礁危險?(參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73)
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