Question

【題目】如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使BD=BA，P是BC邊上一點(diǎn)．點(diǎn)Q在射線BA上，PQ=BP，以點(diǎn)P為圓心，PD長(zhǎng)為半徑作⊙P，交AC于點(diǎn)E，連接PQ，設(shè)PC=x．

（1）AB=　　　　，CD=　　　　，當(dāng)點(diǎn)Q在⊙P上時(shí)，求x的值；

（2）x為何值時(shí)，⊙P與AB相切？

（3）當(dāng)PC=CD時(shí)，求陰影部分的面積；

（4）若⊙P與△ABC的三邊有兩個(gè)公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）5，1，x=；（2）x=；（3）－；（4）0≤x＜或＜x＜4．

【解析】

(1)先由勾股定理求得AB，再由BD=BA，可得BD的長(zhǎng)，從而CD的長(zhǎng)可求；當(dāng)點(diǎn)Q在⊙P上時(shí)，如圖1，根據(jù)PQ=PD推得BP=PD，從而列出方程，解得的值即可；
(2)作PF⊥AB于點(diǎn)F，當(dāng)PF=PD時(shí)，⊙P與AB相切，如圖2，由正弦函數(shù)得出關(guān)于 的方程，解得的值即可；
(3)如圖3，連接PE，利用S陰影=S扇形PDE-S△PCE即可得出答案；
(4)由圖1和圖2即可得出答案．

(1)∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵BD=BA，
∴BD=5，
∴CD= BD - BC=1．
故答案為：5，1；
當(dāng)點(diǎn)Q在⊙P上時(shí)，如圖1，

∵PQ=PD，BP= PQ，
∴BP=PD，
即．
解得：；

(2)作PF⊥AB于點(diǎn)F，當(dāng)PF=PD時(shí)，⊙P與AB相切，如圖2，

則PF=PD=x+1，

sinB==，

即=，

解得：x=，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=是分式方程的解，且滿(mǎn)足題意，

∴x=時(shí)，⊙P與AB相切；

(3)如圖3，連接PE，

∵Rt△PEC中，PC=CD=1，PE=PD=1+1=2．

∵，

∴∠EPC=60°，EC==，

∴S陰影=S扇形PDE-S△PCE

=×1×

=-；

(4)由圖2可知，當(dāng)時(shí)，⊙P與△ABC的三邊有兩個(gè)公共點(diǎn)；

由圖1可知，當(dāng)時(shí)，⊙P與△ABC的三邊有兩個(gè)公共點(diǎn)．
∴的取值范圍為：0≤x＜或＜x＜4．