Question

9．如圖，拋物線與x軸交于點A（-2，0）和B（6，0），與y軸交于點C（0，3$\sqrt{2}$）．

（1）求此拋物線的解析式和頂點D的坐標；
（2）連結BC、BD、CD，求證：△BCD是直角三角形；
（3）過點B作射線BM∥CD，E是線段BC上的動點，設BE=t．作EF⊥BC交射線BM于點F，連結CF，．
①當△ECF與△DCB相似時，求出t的值；
②記S=S_△ECF-S_△EBF，請直接寫出S取到最大值時t 的值．

Answer 1

分析 （1）設交點式y(tǒng)=a（x+2）（x-6），再把C點坐標代入求出a=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，則可得到拋物線解析式為y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²+$\sqrt{2}$x+3$\sqrt{2}$，然后把解析式配成頂點式即可得到頂點D的坐標；
（2）利用兩點間的距離公式計算出CD=$\sqrt{6}$，BD=4$\sqrt{3}$，BC=3$\sqrt{6}$，再利用勾股定理的逆定理判斷△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
（3）①利用BM∥CD可得∠DBM=90°，再利用等角的余角相等得到∠DBC=∠EFB，然后根據(jù)相似三角形的判定方法得到△EBF∽△DCB；由于△EBF∽△DCB，則利用相似比可計算出EF=2$\sqrt{2}$t，然后分類討論：當△EFC∽△DCB時，$\frac{EF}{DC}$=$\frac{EC}{DB}$，即 $\frac{2\sqrt{2}t}{\sqrt{6}}$=$\frac{3\sqrt{6}-t}{4\sqrt{3}}$；當△EFC∽△DBC時，$\frac{EF}{DB}$=$\frac{EC}{DC}$，即$\frac{2\sqrt{2}t}{4\sqrt{3}}$=$\frac{3\sqrt{6}-t}{\sqrt{6}}$，再分別利用比例性質求出t即可；
②利用三角形面積公式得到S=S_△ECF-S_△EBF=$\frac{1}{2}$EF（CE-BE）=-2$\sqrt{2}$t²+6$\sqrt{3}$t，利用二次函數(shù)的性質，當t=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$時，S取最大值．

解答 （1）解：設拋物線解析式為y=a（x+2）（x-6），
把C（0，3$\sqrt{2}$）代入得a•2•（-6）=3$\sqrt{2}$，
解得a=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
所以拋物線解析式為y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x+2）（x-6），即y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²+$\sqrt{2}$x+3$\sqrt{2}$，
∵y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-2）²+4$\sqrt{2}$，
∴頂點D的坐標為（2，4$\sqrt{2}$）；

（2）證明：如圖1，

∵B（6，0），C（0，3$\sqrt{2}$），D（2，4$\sqrt{2}$），
∴CD=$\sqrt{{2}^{2}+（4\sqrt{2}-3\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，BD=$\sqrt{（2-6）^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{{6}^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{6}$，
∵（$\sqrt{6}$）²+（4$\sqrt{3}$）²=（3$\sqrt{6}$）²，
∴CD²+BD²=BC²，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°；

（3）①證明：如圖2，

∵BM∥CD，
而∠BDC=90°，
∴∠DBM=90°，
即∠DBC+∠FBC=90°，
∵FE⊥BC，
∴∠FBE+∠EFB=90°，
∴∠DBC=∠EFB，
而∠BDC=∠FEB，
∴△EBF∽△DCB；

∵△EBF∽△DCB，
∴$\frac{EF}{BD}$=$\frac{BE}{CD}$，即$\frac{EF}{4\sqrt{3}}$=$\frac{t}{\sqrt{6}}$，解得EF=2$\sqrt{2}$t，
當△EFC∽△DCB時，$\frac{EF}{DC}$=$\frac{EC}{DB}$，即 $\frac{2\sqrt{2}t}{\sqrt{6}}$=$\frac{3\sqrt{6}-t}{4\sqrt{3}}$，解得t=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
當△EFC∽△DBC時，$\frac{EF}{DB}$=$\frac{EC}{DC}$，即$\frac{2\sqrt{2}t}{4\sqrt{3}}$=$\frac{3\sqrt{6}-t}{\sqrt{6}}$，解得t=$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$．
綜上所述，t的值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$或$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$；
②解：S=S_△ECF-S_△EBF=•CE•EF-BE•EF=EF（CE-BE）=•2$\sqrt{2}$t•（3$\sqrt{6}$-t-t）=-2$\sqrt{2}$t²+6$\sqrt{3}$t，當t=-$\frac{6\sqrt{3}}{2×（-2\sqrt{2}）}$=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$時，S取最大值．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質和相似三角形的判定與性質；會用待定系數(shù)法求拋物線解析式；能運用勾股定理的逆定理證明直角三角形；理解坐標與圖形性質，能利用兩點間的距離公式計算線段的長和運用相似比計算線段的長．