Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點（1，0）和點，與軸交于點，對稱軸為直線＝1.

（1）求點的坐標（用含的代數式表示）

（2）連接、，若△的面積為6，求此拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，點為軸正半軸上的一點，點與點，點與點關于點成中心對稱，當△為直角三角形時，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）C(0,-3a)；（2）；（3）點Q的坐標為（4，0）或（9，0）.

【解析】試題分析：（1）由對稱軸公共確定出b=-2a，再把A（-1，0）代入解析式即可得c=-3a，從而可得點C坐標；

（2）由拋物線的對稱軸以及點A坐標可得點B坐標，從而得到AB長，再根據三角形的面積求得OC長，從而求得ａ的值，繼而得到b、c的值，得到解析式；

（3）分情況討論即可.

試題解析：（1）∵拋物線的對稱軸為直線，

∴，得，

把點A（-1，0）代入，得，

∴，

∴C（0，-3a）；

（2）∵點A、B關于直線對稱，∴點B的坐標為（3，0），

∴AB=4，OC=3a，

∵，∴，

∴a=1，∴b=-2，c=-3，

∴；

（3）設點Q的坐標為（m，0）．過點G作GH⊥x軸，垂足為點H，

∵點G與點C，點F與點A關于點Q成中心對稱，

∴QC=QG，QA=QF= m+1，QO=QH= m，OC=GH=3，

∴QF= m+1，QO=QH= m，OC=GH=3，∴OF= 2m+1，HF= 1；

Ⅰ.當∠CGF＝90°時，

可得∠FGH＝∠GQH＝∠OQC，

∴，∴，∴，

∴，

∴Q的坐標為（9，0）；

Ⅱ.當∠CFG＝90°時，

可得， ，∴，∴，

∴，Q的坐標為（4，0），

Ⅲ.當∠GCF＝90°時，

∵∠GCF<∠FCO<90°，∴此種情況不存在，

綜上所述，點Q的坐標為（4，0）或（9，0）．