【題目】如圖,四邊形ABCD內接于⊙O,且對角線AC⊥BD,垂足為點E,過點C作CF⊥AB于點F,交BD于點G.
(1)如圖①,連接EF,若EF平分∠AFG,求證:AE=GE;
(2)如圖②,連接CO并延長交AB于點H,若CH為∠ACF的平分線,AD=3,且tan∠FBG=,求線段AH長
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)過點E作EF的垂線交CF于點I,證△EFI是等腰直角三角形,進而可證△AEF≌△GEI,等量代換即可證明結論;
(2)連接DO并延長,交⊙O于點P,連接AP,先求出圓的半徑,再過點H作HJ⊥AC于點J,過點O作OK⊥AC于點K,根據三角函數可設設AJ=3t,則HJ=4t,由勾股定理可知AH=5t,根據角平分線的性質定理及三角函數用含有t的代數式表示出HF=HJ=4t,AF=9t,CF=CJ=12t,AC=15t,CK=t,再根據平行線分線段成比例定理及勾股定理求解即可.
(1)如圖,過點E作EF的垂線交CF于點I,
∵CF⊥AB,
∴∠AFG=90°,
∵EF平分∠AFG,
∴∠EFI=45°,
∵EF⊥EI,
∴∠EIF=45°,
∴EF=EI
又∵∠EGF+∠FAE=180°,∠EGF+∠EGI=180°,
∴∠EGI=∠FAE,
∵∠AEB=∠FEI=90°,
∴∠AEF=∠GEI,
∴△AEF≌△GEI(AAS),
∴AE=GE
(2)如圖②,連接DO并延長,交⊙O于點P,連接AP,
則∠ABD=∠P,
∵DP為⊙O的直徑,
∴∠PAD=90°,
∵tan∠FBG=,
∴tanP==,
又∵AD=3,
∴AP=4,PD=5,
∴OD=
∴OC=OD=
如圖③,過點H作HJ⊥AC于點J,過點O作OK⊥AC于點K,
∵HJ⊥AC,BD⊥AC,
∴HJ∥BD,
∴∠ABD=∠AHJ,則tan∠AHJ=,
設AJ=3t,則HJ=4t,由勾股定理可知AH=5t,
∵CH是∠ACF的平分線,且HF⊥CF,HJ⊥AC,
∴HF=HJ=4t,
∴AF=AH+HF=9t,
設CF=x,則CJ=x,
∵∠BFG=∠GEC,∠FGB=∠EGC,
∴∠FBG=∠ECG,
∴tan∠FCJ===,
解得x=12t,
∴CF=CJ=12t,
∴AC=15t,
∴CK=t
又∵OK∥HJ,
∴=,
∴OK==t,
∴在Rt△OCK中,OK2+KC2=OC2,即(t)2+(t)2=()2,
解得t= (負值舍去),
∴AH=5t=
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,O是等邊內一點,,以點B為旋轉中心,將線段BO逆時針旋轉得到線段,連接,則下列結論:
①可以由繞點B逆時針旋轉得到
②連接,則
③
④
其中正確的結論是____________.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】發(fā)現思考:已知等腰三角形ABC的兩邊分別是方程x2﹣7x+10=0的兩個根,求等腰三角形ABC三條邊的長各是多少?下邊是涵涵同學的作業(yè),老師說他的做法有錯誤,請你找出錯誤之處并說明錯誤原因.
涵涵的作業(yè)
解:x2﹣7x+10=0
a=1 b=﹣7 c=10
∵b2﹣4ac=9>0
∴x==
∴x1=5,x2=2
所以,當腰為5,底為2時,等腰三角形的三條邊為5,5,2.
當腰為2,底為5時,等腰三角形的三條邊為2,2,5.
探究應用:請解答以下問題:
已知等腰三角形ABC的兩邊是關于x的方程x2﹣mx+﹣=0的兩個實數根.
(1)當m=2時,求△ABC的周長;
(2)當△ABC為等邊三角形時,求m的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點是軸正半軸上的一動點,拋物線(是常數,且過點,與軸交于兩點,點在點左側,連接,以為邊做等邊三角形,點與點在直線兩側.
(1)求B、C的坐標;
(2)當軸時,求拋物線的函數表達式;
(3)①求動點所成的圖像的函數表達式;
②連接,求的最小值.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AB=4,以點B為圓心,BD長為半徑的扇形EBF與AD,CD交于點G,H,且G,H分別為AD,CD邊上的中點,則陰影部分的面積為____.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,點M是矩形ABCD的邊AD的中點,點P是BC邊上一動點,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足為E、F.
(1)當矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時,四邊形PEMF為矩形?猜想并證明你的結論.
(2)在(1)中,當點P運動到什么位置時,矩形PEMF變?yōu)檎叫,為什么?/span>
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABE和△ACF中,EB交AC于點M,交FC于點D,AB交FC于點N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.下列結論:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中,正確的是_________.(填序號)
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】為配合“一帶一路”國家倡議,某鐵路貨運集裝箱物流園區(qū)正式啟動了2期擴建工程一項地基基礎加固處理工程由2、8兩個工程公司承擔建設,己知2工程公司單獨建設完成此項工程需要180天工程公司單獨施工天后,工程公司參與合作,兩工程公司又共同施工天后完成了此項工程.
(1)求工程公司單獨建設完成此項工程需要多少天?
(2)由于受工程建設工期的限制,物流園區(qū)管委會決定將此項工程劃包成兩部分,要求兩工程公司同時開工,工程公司建設其中一部分用了天完成,工程公司建設另一部分用了天完成,其中,均為正整數,且,,求、兩個工程公司各施工建設了多少天?
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C
(1)求點A、B的坐標;
(2)設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點,當△ACD的面積等于△ACB的面積時,求點D的坐標;
(3)若直線l過點E(4,0),M為直線l上的動點,當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時,求直線l的解析式.
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com