Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，且對角線AC⊥BD，垂足為點E，過點C作CF⊥AB于點F，交BD于點G．

（1）如圖①，連接EF，若EF平分∠AFG，求證：AE＝GE；

（2）如圖②，連接CO并延長交AB于點H，若CH為∠ACF的平分線，AD＝3，且tan∠FBG＝，求線段AH長

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）過點E作EF的垂線交CF于點I，證△EFI是等腰直角三角形，進而可證△AEF≌△GEI，等量代換即可證明結論；

（2）連接DO并延長，交⊙O于點P，連接AP，先求出圓的半徑，再過點H作HJ⊥AC于點J，過點O作OK⊥AC于點K，根據三角函數可設設AJ＝3t，則HJ＝4t，由勾股定理可知AH＝5t，根據角平分線的性質定理及三角函數用含有t的代數式表示出HF＝HJ＝4t，AF＝9t，CF＝CJ＝12t，AC＝15t，CK＝t，再根據平行線分線段成比例定理及勾股定理求解即可．

（1）如圖，過點E作EF的垂線交CF于點I，

∵CF⊥AB，

∴∠AFG＝90°，

∵EF平分∠AFG，

∴∠EFI＝45°，

∵EF⊥EI，

∴∠EIF＝45°，

∴EF＝EI

又∵∠EGF＋∠FAE＝180°，∠EGF＋∠EGI＝180°，

∴∠EGI＝∠FAE，

∵∠AEB＝∠FEI＝90°，

∴∠AEF＝∠GEI，

∴△AEF≌△GEI(AAS)，

∴AE＝GE

（2）如圖②，連接DO并延長，交⊙O于點P，連接AP，

則∠ABD＝∠P，

∵DP為⊙O的直徑，

∴∠PAD＝90°，

∵tan∠FBG＝，

∴tanP＝＝，

又∵AD＝3，

∴AP＝4，PD＝5，

∴OD＝

∴OC=OD＝

如圖③，過點H作HJ⊥AC于點J，過點O作OK⊥AC于點K，

∵HJ⊥AC，BD⊥AC，

∴HJ∥BD，

∴∠ABD＝∠AHJ，則tan∠AHJ＝，

設AJ＝3t，則HJ＝4t，由勾股定理可知AH＝5t，

∵CH是∠ACF的平分線，且HF⊥CF，HJ⊥AC，

∴HF＝HJ＝4t，

∴AF＝AH＋HF＝9t，

設CF＝x，則CJ＝x，

∵∠BFG＝∠GEC，∠FGB＝∠EGC，

∴∠FBG＝∠ECG，

∴tan∠FCJ＝＝＝，

解得x＝12t，

∴CF＝CJ＝12t，

∴AC＝15t，

∴CK＝t

又∵OK∥HJ，

∴＝，

∴OK＝＝t，

∴在Rt△OCK中，OK2＋KC2＝OC2，即(t)2＋(t)2＝()2，

解得t＝ (負值舍去)，

∴AH＝5t＝