Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，的平分線與的延長線交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F，且點(diǎn)F為邊DC的中點(diǎn)，，垂足為，若，則的長為_____________

Answer 1

【答案】

【解析】

由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線證出AD=DF，由F為DC中點(diǎn)，AB=CD，求出AD與DF的長，得出三角形ADF為等腰三角形，根據(jù)三線合一得到G為AF中點(diǎn)，在直角三角形ADG中，由AD與DG的長，利用勾股定理求出AG的長，進(jìn)而求出AF的長，再由AAS證明ADF≌△ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的長．

∵AE為∠DAB的平分線，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又F為DC的中點(diǎn)，
∴DF=CF，
∴AD=DF=DC=AB=4，
在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得：AG= ，
則AF=2AG=2，
∵平行四邊形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
在△ADF和△ECF中， ，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF，
則AE=2AF=2×2=4，
故答案為：4.